Курс теоретической астрофизики

Выше уже отмечалось, что важную роль в переносе энергии внутри звезды играет лучеиспускание. Поэтому необходимо выяснить, при каких процессах происходит поглощение лучистой энергии внутри звезды. Как и в фотосферах, основными из этих процессов являются следующие: 1) переходы электронов из связанных состояний в свободные, т.е. фотоионизация атомов, 2) переходы электронов из свободных состояний в свободные, 3) рассеяние излучения на свободных электронах.

Вследствие очень высоких температур внутри звезды лёгкие атомы (в частности, водород и гелий) полностью ионизованы. Поэтому поглощение излучения, связанное с фотоионизацией атомов, может производиться лишь тяжёлыми атомами. Так как тяжёлые атомы также лишены значительной части своих электронов, то приближённо их можно считать водородоподобными. Коэффициент поглощения, обусловленный фотоионизацией атомов водорода, даётся формулой (5.8) гл. I. Аналогично пишется и коэффициент поглощения, обусловленный фотоионизацией водородоподобных атомов:

=

n

_e

n

2e

33 ch m

Z^2

(2mkT)^1^/^2

kT

1

^3

x

x

i=i

g_k

i^3

exp

_i

kT

,

(36.29)

где Z — эффективный заряд иона.

Свободно-свободные переходы электронов происходят в основном в поле ядер водорода и гелия. Коэффициент поглощения, обусловленный этими переходами, равен

''

=

n

_e

n

2^3eZ^2

33 ch m(2mkT)^1^/^2

g

^3

.

(36.30)

При Z=1 т.е. для водорода, из этой формулы получается формула (5.10) гл. I.

Коэффициент рассеяния на свободных электронах, как известно, даётся формулой

_e

=

n

_e

=

n

_e

8

3

e^2

mc^2

^2

.

(36.31)

В уравнение (35.46), выражающее энергетическое равновесие звезды, входит средний коэффициент поглощения , рассчитанный на единицу массы. Поэтому приведённые выше выражения для объёмных коэффициентов поглощения следует усреднить по частоте и воспользоваться соотношением =.

Средний коэффициент поглощения атомами водорода уже был определён в гл. I и даётся формулой (5.34). Указанная формула применима и к водородоподобным атомам. Основываясь на ней, можно получить следующие выражения для коэффициентов поглощения, обусловленных фотоионизациями и свободно-свободными переходами соответственно:

'

=

2,4

kT

n_en

80eh^2Z^2

^23 c (2m)^3^/^2

g

(kT)^/^2

(36.32)

и

''

=

n_en

80eh^2Z^2

^23 c (2m)^3^/^2

g

(kT)^/^2

.

(36.33)

Здесь через g обозначено среднее значение множителя Гаунта.

Входящие в формулы (36.32) и (36.33) величины n_e и n зависят от плотности и химического состава. Пусть, как и раньше, X — весовая доля водорода и Y — весовая доля гелия. Число свободных электронов в 1 см^3, возникающих при ионизации водорода и гелия, равно соответственно X/m_H и Y/2m_H. Можно считать, что ионизация тяжёлых элементов даёт

1

2

A(1-X-Y)

Am_H

электронов в 1 см^3. Поэтому полная концентрация свободных электронов будет равна

n

_e

=

1

2

(1+X)

m_H

.

(36.34)

Величина n, входящая в формулу (36.32), представляет собой концентрацию атомов данного элемента в стадии ионизации, следующей за той, в которой находятся поглощающие атомы. Очевидно, что в каждом месте звезды поглощение производится в основном атомами, находящимися в одной определённой стадии ионизации. Как уже говорилось, для этой стадии ионизации величина /kT должна быть порядка единицы. Величину n можно приближённо считать равной концентрации всех атомов рассматриваемого элемента, т.е. равной весовой доле этого элемента, умноженной на /Am_H. Суммируя величины nZ^2 для всех тяжёлых атомов и принимая для Z^2/A некоторое среднее значение, получаем величину

(1-X-Y)

m_H

Z^2

A

.

Разумеется, этот подсчёт является довольно грубым.

Величина n, входящая в формулу (36.33), есть концентрация ионизованных атомов водорода или гелия. Для водорода величина nZ^2 равна X/m_H, а для гелия Y/m_H. Сумма этих величин равна

(X+Y)

m_H

.

Принимая во внимание сказанное, вместо формул (36.32) и (36.33) получаем

'

=

C'

g

(1+X)

(1-X-Y)

(kT)^/^2

(36.35)

и

''

=

C''

g

(1+X)

(X+Y)

(kT)^/^2

,

(36.36)

где C' и C'' — некоторые постоянные.

Формулы (36.35) и (36.36) получены путём усреднения коэффициентов поглощения по частоте при весовой функции, представляющей собой планковскую интенсивность. Обычно же средние коэффициенты поглощения находятся по формуле Росселанда. Однако и в этом случае получаются формулы, похожие на формулы (36.35) и (36.36). Некоторое различие между ними заключается лишь в численных коэффициентах. Например, в книге М. Шварцшильда [4] приводятся следующие выражения для росселандовых средних:

'

=

4,3·10^2

g

t

(1+X)

(1-X-Y)

(kT)^/^2

,

(36.37)

''

=

4,3·10^2^2

g

(1+X)

(X+Y)

(kT)^/^2

.

(36.38)

Здесь t — так называемый гильотинный множитель (порядка единицы).

Коэффициент рассеяния на свободных электронах, определённый формулой (36.31), не зависит от частоты. Полагая _e=_e и пользуясь формулой (36.34), получаем

_e

=

2m_H

(1+X)

=

0,2

(1+X)

.

(36.39)