Курс теоретической астрофизики

Чтобы получить уравнение состояния электронного газа, надо написать выражение для давления. Если скорости частиц малы по сравнению со скоростью света, то мы имеем

P

_e

=

2

3

p^2

2m

dn

_e

,

(36.13)

или, на основании (36.11),

P

_e

=

8

0

pdp

.

3mh^3

D

exp

p^2

+1

2mkT

(36.14)

Из соотношений (36.12) и (36.14) путём исключения величины D можно получить зависимость между P_e, n_e и T, т.е. искомое уравнение состояния газа.

Предположим сначала, что D>>1. Тогда из соотношений (36.12) и (36.14) находим

n

_e

=

2(2mkT)^3^/^2

h^3D

1-

1

2^3^/^2D

+…

,

(36.15)

P

_e

=

2(2mkT)^3^/^2

h^3D

kT

1-

1

2^/^2D

+…

.

(36.16)

Отсюда приближённо следует:

P

_e

=

n

_e

kT

1-

1

2^/^2D

+…

(36.17)

и

D

=

2(2mkT)^3^/^2

h^3n_e

.

(36.18)

Мы видим, что уравнение состояния (36.17) мало отличается от уравнения состояния обычного идеального газа. Следовательно, в рассматриваемом случае газ слабо вырожден. Если величина D очень велика, то вырождением можно пренебречь. Это соответствует пренебрежению единицей в знаменателе формулы (36.11) и означает переход квантовой статистики в классическую.

Если же величина D мала, т.е.

2(2mkT)^3^/^2

h^3n_e

1,

(36.19)

то газ будет сильно вырожденным. При этом вырождение будет тем сильнее, чем меньше температура и больше плотность.

Для численных оценок надо иметь в виду, что D=5·10^1 T^3^/^2/n_e и газ является сильно вырожденным, когда D1. Так как внутри звёзд температуры очень высоки, то это неравенство осуществляется лишь при очень больших плотностях. Например, при T10 кельвинов должно быть n_e>>10^2 см^3.

Уравнение состояния сильно вырожденного электронного газа также может быть получено из соотношений (36.12) и (36.14). Предположим сначала, что T=0. В этом случае согласно классической статистике все частицы находятся в ячейке фазового пространства с импульсом p=0 и, следовательно, давление газа равно нулю. Однако в действительности электроны подчиняются принципу Паули, не допускающему присутствия более двух частиц в каждой ячейке. Поэтому при T=0 электроны занимают все ячейки с импульсами от p=0 до некоторого p_max, а давление газа отлично от нуля.

В данном случае вместо (36.11) имеем

dn

_e

=

8p^2dp

h^3

(36.20)

и из соотношений (36.12) и (36.14) находим:

n

_e

=

8

h^3

p_max

0

p^2

dp

=

8

3h^3

p

_max

^3

,

(36.21)

P

_e

=

8

3mh^3

p_max

0

p

dp

=

8

15mh^3

p

_max

.

(36.22)

Подстановка p_max из (36.21) в (36.22) даёт

P

_e

=

1

10

3

^2/

h^2

m

n

_e

^/

^3

.

(36.23)

Мы получили уравнение состояния полностью вырожденного электронного газа. Хотя при его выводе и принималось T=0, однако оно с большой точностью справедливо при любых температурах, удовлетворяющих неравенству D1. Это следует из того, что при малых D формулы (36.12) и (36.14) приводят к уравнению (36.23) с множителем в правой части, равным

1+

20

3

6

/

D

^/

^3

.

Таким образом, чем меньше D, т.е. чем сильнее вырождение, тем точнее уравнение состояния (36.23). Подчеркнём, что в это уравнение не входит температура, хотя она и может быть очень высокой.

При выводе уравнения (36.23) была использована для давления формула (36.13), справедливая лишь при скоростях частиц, малых по сравнению со скоростью света. Это значит, что уравнение (36.23) относится к нерелятивистскому газу. Однако с увеличением концентрации свободных электронов, как следует из формулы (36.21), растёт их максимальный импульс, а значит, и скорости могут стать близкими к скорости света. Поэтому мы должны получить уравнение состояния электронного газа, которое годилось бы и для этого случая.

Если частицы могут иметь скорости, близкие к скорости света, то вместо формулы (36.13) мы должны написать

P

_e

=

1

p^2

dn

_e

,

3m

1+

p^2

1/2

m^2c^2

(36.24)

Подставляя сюда выражение (36.20), получаем

P

_e

=

8

p_max

0

p^2

dp

,

3mh^3

1+

p

1/2

m^2c^2

(36.25)

или, после интегрирования,

P

_e

=

mc

3h^3

x(2x^2-3)

1+x^2

+

3

arcsh

x

,

(36.26)

где обозначено x=p_max/mc.

Формулу (36.21) мы можем переписать теперь в виде

n

_e

=

8m^3c^3

3h^3

x^3

.

(36.27)

Соотношения (36.26) и (36.27) представляют собой уравнение состояния полностью вырожденного электронного газа в параметрической форме. Это уравнение справедливо при любых скоростях электронов.

Если x1 то из соотношений (36.26) и (36.27) вытекает ранее полученное уравнение (36.23) для нерелятивистского газа. Если же x>>1, то из указанных соотношений следует

P

_e

=

1

8

3

^1/

ch

n

_e

^/

^3

.

(36.28)

Это есть уравнение, состояния релятивистского полностью вырожденного электронного газа.

Приравнивая друг к другу значения P_e даваемые формулами (36.23) и (36.28), мы можем определить граничное значение n_e отделяющее область нерелятивистского газа от области релятивистского газа. Это значение n_e оказывается порядка 10^3 см^3. Следовательно, при n_e10^3 см^3 вырожденный газ является нерелятивистским, а при n_e>>10^3 см^3 — релятивистским. Формулы (36.26) и (36.27) охватывают как оба эти случая, так и промежуточную между ними область.

3. Перенос энергии внутри звезды.