Курс теоретической астрофизики

где — безразмерный множитель, зависящий от структуры звезды. Тепловая же энергия звезды может быть представлена формулой

Q

=

3

2

k

T

M

m_H

(35.40)

где M/m_H — число частиц в звезде и T — её средняя температура. Подстановка двух последних выражений в соотношение (35.38) даёт

T

=

m_H

3k

GM

R

.

(35.41)

Применяя формулу (35.41) к Солнцу, находим T8·10. Если в качестве примера принять =^3/ и =1, то будем иметь T1,2·10 кельвинов. Таким образом, самые простые оценки показывают, что температуры внутри звёзд очень высоки.

Как уже сказано, энергию, равную E, нужно затратить, чтобы рассеять звезду в пространстве. Однако эта энергия должна выделиться, если туманность сжимается до состояния звезды. Согласно теореме вириала, половина выделившейся при сжатии энергии идёт на нагревание звезды. Другая же половина расходуется звездой на излучение.

Раньше считали, что звёзды возникают из туманностей и свечение звезды в течение всей её жизни происходит за счёт гравитационной энергии, выделяющейся при сжатии. Однако потом выяснилось, что гравитационной энергии недостаточно для этого.

Рассмотрим для примера опять Солнце. Принимая n=3, по формуле (35.36) находим, что гравитационная энергия Солнца равна E=-6·10 эрг. Светимость Солнца составляет 4·10^3^3 эрг/с. Поэтому за счёт гравитационной энергии (точнее её половины) Солнце могло излучать при постоянной светимости не более 2,5·10 лет. По данным же геологии Земля существует не менее 2·10 лет, причём светимость Солнца за это время существенно не менялась. Следовательно, Солнце обладает гораздо более мощными источниками энергии по сравнению с его гравитационной энергией.

Однако для некоторых звёзд гравитационная энергия, выделяющаяся при сжатии, может быть существенным источником их свечения. К таким звёздам относятся белые карлики, не достигшие ещё полного вырождения, т.е. имеющие ещё способность сжиматься. Как известно, массы белых карликов по порядку равны массе Солнца, а их радиусы составляют несколько сотых радиуса Солнца. Поэтому гравитационная энергия белого карлика будет порядка 10 эрг. Светимость же белых карликов примерно в сто раз меньше светимости Солнца, т.е. порядка 10^3^2 эрг/с. Из сопоставления этих цифр следует, что в случае сжатия белого карлика должна выделяться энергия, которая может обеспечить его свечение в течение весьма длительного времени. Разумеется, этим не решается вопрос о действительных источниках энергии белых карликов.

4. Уравнение энергетического равновесия.

Выше было получено одно из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд — уравнение механического равновесия (35.5). Теперь мы напишем второе основное уравнение этой теории — уравнение энергетического равновесия звезды. Оно должно выражать собой то условие, что количество энергии, вырабатываемое в каком-либо элементарном объёме звезды, равно количеству энергии, которое из этого объёма выходит.

Пусть — количество энергии, вырабатываемое одним граммом звёздного вещества, и L_r — количество энергии, вырабатываемое внутри сферы радиуса r за 1 с. Мы имеем

L

_r

=

4

0

r^2

dr

.

(35.42)

Обозначим через H_r поток энергии в радиальном направлении на расстоянии r от центра звезды. На основании упомянутого условия получаем

4

r^2

H

_r

=

L

_r

.

(35.43)

Выражение для величины H_r определяется механизмом переноса энергии внутри звезды. Исследования показали, что основным из этих механизмов является лучеиспускание (хотя в некоторых случаях необходимо принимать во внимание конвекцию и теплопроводность).

Если считать, что энергия внутри звезды переносится только лучеиспусканием, то из уравнения переноса излучения находим

dP_R

dr

=-

c

H

_r

,

(35.44)

где P_R —давление излучения, — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и c — скорость света.

Из (35.43) и (35.44) следует

dP_R

dr

=-

c

L_r

r

.

(35.45)

Подставляя (35.42) в (35.45), имеем

1

r^2

d

dr

r^2

dP_R

dr

=-

c

.

(35.46)

Это и есть искомое уравнение энергетического равновесия звезды.

При получении уравнения механического равновесия мы понимали под P газовое давление. В дальнейшем будем понимать под P сумму давлений: газового и светового. Иными словами, будем считать

P

=

P

_G

+

P

_R

,

(35.47)

где

P

_G

=

R_*

T

(35.48)

и

P

_R

=

1

3

aT

.

(35.49)

Если приведённые выражения для давлений подставить в уравнения (35.5) и (35.46), то мы получим систему двух уравнений для определения двух неизвестных функций от r: плотности и температуры T. Входящие в эти уравнения величины , и должны считаться известными функциями от и T.

5. Стандартная модель звезды.

До открытия ядерных реакций как источника звёздной энергии величина не была известна. Поэтому в теории внутреннего строения звёзд приходилось делать различные предположения относительно этой величины, в результате чего получались разные модели звёзд. Важную роль в теории сыграла модель, предложенная Эддингтоном. Её обычно называют стандартной моделью звезды.