Курс теоретической астрофизики

где — энергия ионизации из основного состояния. Аналогичной формулой определяется и отношение числа s раз ионизованных атомов к числу s-1 раз ионизованных атомов. Из формулы (36.1) видно, что степень ионизации существенно зависит от отношения /kT и, грубо говоря, атомы переходят в следующую стадию ионизации, когда это отношение становится порядка единицы. Поэтому лёгкие атомы, обладающие небольшими энергиями отрыва последнего электрона (в частности, водород и гелий), оказываются полностью ионизованными уже в поверхностных слоях звезды. А от тяжёлых атомов по мере проникновения в глубь звезды отрывается все большее и большее число электронов.

Таким образом, газ внутри звезды (представляющий собой высокотемпературную плазму) состоит из большого числа свободных электронов, из «голых» ядер лёгких атомов и из тяжёлых атомов, лишённых значительной части своих электронных оболочек. Такой состав газа внутри звезды следует принимать во внимание при написании уравнения состояния газа и, в частности, при определении его среднего молекулярного веса.

При рассмотрении звёздных атмосфер в качестве уравнения состояния вещества мы брали уравнение состояния обычного идеального газа. Можно было бы думать, что при углублении внутрь звезды газ перестаёт быть идеальным вследствие сильного возрастания его плотности. Однако в действительности почти полная ионизация атомов внутри звезды приводит к резкому уменьшению размеров частиц (от размеров атомов порядка 10 см до размеров ядер порядка 10^1^3 см). Благодаря этому и внутри звезды газ остаётся идеальным, т.е. уравнение состояния газа мы можем записать в виде

P

=

n

kT

,

(36.2)

где n — число частиц в 1 см^3. Переходя здесь от концентрации n к плотности при помощи соотношения

n

=

m_H

,

(36.3)

где — средняя молекулярная масса и m_H — масса атома водорода, вместо (36.2) получаем

P

=

k

m_H

T

,

(36.4)

т.е. уравнение, совпадающее с ранее использовавшимся уравнением (35.26) (так как R_*=k/m_H).

Величина , входящая в уравнение состояния (36.4), имеет важное значение для теории внутреннего строения звёзд. Найдём эту величину, пользуясь формулой (36.3) и имея в виду, что плотность определяется в основном атомами, а концентрация n — как атомами, так и свободными электронами. В качестве первого приближения все атомы внутри звезды будем считать полностью ионизованными.

Допустим сначала, что звезда состоит из одного элемента с атомным номером Z и атомной массой A. Так как при полной ионизации на каждый атом приходится Z свободных электронов, то мы имеем

n

=

Am_H

(1+Z)

.

(36.5)

Поэтому для величины получаем

=

A

1+Z

.

(36.6)

Формула (36.6) даёт для водорода =^1/, для гелия =/, для других элементов 2. Таким образом, средняя молекулярная масса внутри звезды заключена в сравнительно небольших пределах. Однако даже небольшие различия в величине весьма существенны. Это объясняется тем, что температура согласно формуле (35.28) пропорциональна , а от температуры чрезвычайно сильно зависит количество энергии, выделяющейся при ядерных реакциях.

На самом деле звезда состоит из смеси разных элементов. Чтобы получить формулу для в этом случае, обозначим через x_Z весовую долю элемента с атомным номером Z (т.е. будем считать, что на грамм звёздного вещества приходится x_Z граммов атомов данного элемента). Для величины n теперь находим

n

=

x_Z

Am_H

(1+Z)

,

(36.7)

где суммирование производится по всем элементам. Подстановка (36.7) в (36.3) даёт

=

1

.

x

_Z

(1+Z)

A

(36.8)

Пусть X — весовая доля водорода, Y — весовая доля гелия и 1-X-Y — весовая доля других элементов. Тогда вместо (36.8) получаем

=

1

,

2X

+

3

Y

+

1

(1-X-Y)

4

2

(36.9)

или

=

1

6X+Y+2

.

(36.10)

Как уже сказано, формула (36.10) справедлива только при полной ионизации атомов в данном месте звезды. Если ионизацию нельзя считать полной, то в формуле (36.8) вместо Y следует написать число оторванных от атома электронов. Это число может быть определено при помощи формулы ионизации (36.1).

2. Вырождение газа.

При углублении в звезду вместе с температурой увеличивается и плотность. Особенно сильное возрастание плотности происходит во внешних слоях звёзд с большим ускорением силы тяжести на поверхности (в частности, у белых карликов). В этих случаях внутри звёзд могут существовать области, в которых газ является вырожденным, т.е. не подчиняющимся законам, вытекающим из классической статистики. Поэтому наряду с уравнением состояния (36.4) нам следует также иметь уравнение состояния вырожденного газа.

Рассмотрим газ, состоящий из свободных электронов. Как известно, такой газ подчиняется статистике Ферми — Дирака, справедливой для частиц, обладающих двумя свойствами: 1) частицы являются неразличимыми, 2) в каждой ячейке фазового пространства не может находиться более двух частиц. Согласно указанной статистике число свободных электронов с импульсами от p до p+dp даётся формулой

dn

_e

=

8p^2dp

1

,

h^3

D

exp

p^2

+1

2mkT

(36.11)

в которой величина D определяется из того условия, что задано полное число свободных электронов в единице объёма, т.е.

n

_e

=

8

0

p^2dp

.

h^3

D

exp

p^2

+1

2mkT

(36.12)