Курс теоретической астрофизики

Входящее в уравнение (37.1) давление P является суммой газового и светового давлений. Посредством уравнения состояния газа и закона Стефана — Больцмана давление P выражается через температуру T, плотность и средний молекулярный вес . В свою очередь величина определяется заданием химического состава. Формулой (36.10) она выражается через весовую долю водорода X и весовую долю гелия Y.

Средний коэффициент поглощения и количество вырабатываемой энергии также выражаются через , T, X и Y. Соответствующие формулы были даны в предыдущем параграфе.

Таким образом, приведённая выше система четырёх уравнений (37.1) — (37.4) служит для определения четырёх неизвестных функций: M_r, L_r, и T. Входящие в эту систему величины X и Y считаются заданными.

К указанной системе уравнений следует ещё добавить граничные условия. В центре звезды мы, очевидно, имеем

M

_r

=

0,

L

_r

=

0

при

r

=

0,

(37.5)

а на границе звезды

=

0,

T

=

0

при

r

=

R.

(37.6)

Необходимо, однако, иметь в виду, что некоторые формулы, справедливые для внутренних слоёв звезды (в частности, выражения для и ), неприменимы к поверхностным слоям. Объясняется это тем, что при выводе этих формул делалось предположение о сильной ионизации газа, в то время как в поверхностных слоях степень ионизации мала. Поэтому применение приведённых выше уравнений вместе с граничными условиями (37.6) ко всей звезде может приводить к ненадёжным результатам. Более правильный путь решения задачи состоит в определении структуры поверхностных слоёв на основании теории фотосфер и в решении приведённых уравнений при «граничных условиях», вытекающих из данных о строении фотосферы.

Система уравнений (37.1) — (37.4) при указанных граничных условиях и при заданных значениях X и Y полностью определяет структуру звезды. В результате решения этой системы находятся и значения величин M_r и L_r при r=R, т.е. масса звезды M и светимость L. На самом деле для каждой звезды значения M и L являются заданными. Поэтому задача об определении структуры звезды состоит не только в решении приведённой системы, но и в подборе подходящих значений X и Y.

Однако внутри звезды могут существовать большие различия в химическом составе, а значит, и в величинах X и Y. Вследствие этого задача о нахождении структуры звезды не является определённой. Причиной различий в химическом составе на разных глубинах в звезде является изменение скорости ядерных реакций при переходе от одного места звезды к другому: эта скорость тем больше, чем больше и T. Поэтому внутри звёзд могут существовать области, в которых водород полностью или частично «выгорел». Все это принимается во внимание при построении теоретических моделей звёзд. Следовательно, теория внутреннего строения звёзд, неотделима от проблемы эволюции звёзд.

2. Методы расчёта звёздных моделей.

Выше мы видели, что решение проблемы внутреннего строения звёзд сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (37.1) — (37.4) при граничных условиях (37.5) и (37.6). Это интегрирование выполняется численно с помощью электронных вычислительных машин. В результате получаются теоретические модели звёзд. Сейчас мы кратко опишем некоторые методы, применяемые при расчётах звёздных моделей.

Интегрирование указанных уравнений можно начать от центра звезды. Так как при r=0 известны значения только двух искомых функций (M_r=0 и L_r=0), то в этой точке мы должны задать также значения давления и температуры. При малых r решение рассматриваемых уравнений можно получить в виде ряда. Ограничиваясь членами порядка r^3, имеем

M

_r

=

4

3

_c

r^3

,

(37.7)

L

_r

=

4

3

_c

_c

r^3

,

(37.8)

P

=

P

_c

-

2

3

G

_c

^2

r^2

,

(37.9)

T

=

T

_c

-

_ccc^2

8acT_c

r^2

,

(37.10)

где индексом c отмечены величины в центре звезды. Для перехода от малых r к большим следует применить численное интегрирование уравнений. Оно заканчивается тогда, когда плотность и температура достигают своих значений на поверхности звезды (=0 и T=0). При этом получаются определённые значения для массы звезды M, её светимости L и радиуса R. Однако такая модель может сильно отличаться от реальных звёзд, т.е. не удовлетворять соотношениям «масса — светимость» и «спектр — светимость». Чтобы устранить расхождение, надо пытаться подобрать более подходящие значения P_c и T_c. Если и это не приведёт к цели, то должен быть изменён принятый химический состав.

Интегрирование системы уравнений (37.1) — (37.4) можно начать также от поверхности звезды. Для внешних слоёв звезды, как и для её центральной области, может быть получено решение в аналитической форме. Оно основывается на том, что во внешних слоях отсутствуют источники энергии и в них содержится лишь очень небольшая доля массы звезды. Поэтому можно считать, что в этих слоях M_r=M и L_r=L. Следовательно, нам надо определить только изменение с r температуры и давления.

Разделив (37.1) на (37.3) и пользуясь постоянством массы и светимости, находим

dP

dT

=

16G ac M

3L

T^3

.

(37.11)

Входящий сюда коэффициент поглощения на основании (36.37) и (36.38) может быть представлен в виде

=

T^/^2

,

(37.12)