Курс теоретической астрофизики

Считая, как и выше, что диффузия излучения сопровождается перераспределением по частотам при элементарном акте рассеяния, мы для коэффициента излучения ε_ν возьмём выражение (27.31). На основании сказанного в качестве уравнения переноса излучения имеем

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑡

=

α

⎡

⎢

⎣

𝑥

-

𝑣(𝑡)

𝑢

cos θ

⎤

⎥

⎦

(𝑆-𝐼

_ν

)

.

(27.62)

Уравнение лучистого равновесия будет теперь иметь вид

𝑆(𝑡)

=

𝐴

+∞

∫

-∞

𝑑𝑥

∫

α

⎡

⎢

⎣

𝑥

-

𝑣(𝑡)

𝑢

cos θ

⎤

⎥

⎦

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

+

𝑆₀(𝑡)

.

(27.63)

При 𝑣=0 два последних уравнения переходят в уравнения (27.37) и (27.38).

Из уравнений (27.62) и (27.63) при граничных условиях (27.15) или (27.57) можно получить интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡). Для простоты мы примем, что скорость расширения 𝑣 линейно возрастает с ростом оптического расстояния 𝑡, т.е.

𝑣(𝑡)

=

𝑣(0)

+

𝑑𝑣

𝑑𝑡

⋅

𝑡

, где

𝑑𝑣

𝑑𝑡

=

const

и

𝑑𝑣

𝑑𝑡

>

0

.

Тогда функция 𝑆(𝑡) будет определяться уравнением (27.40) или (27.58), в которых функция 𝐾(𝑡) равна

𝐾(𝑡)

=

𝐴

1

∫

0

𝑑μ

μ

+∞

∫

-∞

α(𝑥)

α(𝑥+γ𝑡μ)

×

×

exp

⎛

⎜

⎝

-

-𝑡

∫

0

α(𝑥+γ𝑧μ)

𝑑𝑧

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

.

(27.64)

где обозначено

γ

=

1

𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑡

.

(27.65)

Приближённое решение упомянутых уравнений даётся формулами (27.49) или (27.59), в которых

𝐿(𝑡)

=

𝐴

1

∫

0

𝑑μ

+∞

∫

-∞

α(𝑥)

exp

⎛

⎜

⎝

-

-𝑡

∫

0

α(𝑥+γ𝑧μ)

𝑑𝑧

μ

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

=

=

𝐴

1

∫

0

𝑑μ

+∞

∫

-∞

α(𝑥)

exp

⎛

⎜

⎝

-

1

γμ²

𝑥+γ𝑡μ

∫

𝑥

α(𝑦)

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

.

(27.66)

В газовых туманностях обычно величина γ очень мала, а величина 𝑡 очень велика. Рассмотрим поэтому два частных случая формулы (27.66).

1. Будем считать, что γ𝑡≪1, т.е. туманность расширяется с небольшим градиентом скорости. В предельном случае можем положить γ=0. Тогда формула (27.66) переходит в формулу (27.50), и поле L_α-излучения в туманности определяется выходом из неё квантов в крыльях линии (таким путём, какой был подробно рассмотрен выше).

2. Допустим, что γ𝑡≫1, т.е. градиент скорости в туманности велик. В предельном случае положим 𝑡=∞. Тогда выход квантов в крыльях линии будет невозможен, и поле L_α-излучения в туманности определяется выходом из неё квантов вследствие эффекта Доплера. В данном случае формула (27.66) принимает вид

𝐿

=

𝐴γ

1

∫

0

⎛

⎜

⎝

1

-

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

𝐴γμ²

⎤

⎥

⎦

⎞

⎟

⎠

μ²

𝑑μ

.

(27.67)

При 𝐴γ≪1 из (26.67) находим

𝐿

=

1

3

𝐴γ

.

(27.68)

Следует отметить, что величина 𝐴γ не зависит от контура коэффициента поглощения. В самом деле, мы имеем

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

=

𝑘₀

Δ

ν

_𝐷

+∞

∫

-∞

α(𝑥)

𝑑𝑥

=

𝑘₀ν₀𝑢

𝑐𝐴

.

(27.69)

Поэтому, пользуясь формулой (8.12), получаем

𝑘₀𝑢

𝐴

=

ℎ𝐵₁₂

.

(27.70)

Следовательно,

𝐴γ

=

𝐴

𝑛₁𝑢𝑘₀

𝑑𝑣

𝑑𝑟

=

1

𝑛₁ℎ𝐵₁₂

𝑑𝑣

𝑑𝑟

.

(27.71)

В рассматриваемом случае приближённое выражение для функции 𝑆(𝑡) имеет вид

𝑆(𝑡)

=

3𝑆₀(𝑡)

𝐴γ

.

(27.72)

Разумеется, этой формулой можно пользоваться только для областей туманности, далёких от границ [как и вообще выражениями для 𝑆(𝑡), полученными изложенным методом].

Интересно выяснить, при каких условиях указанные частные случаи формулы (27.66) осуществляются в действительности. Как уже было установлено, ответ на этот вопрос зависит от значения величины

δ

=

γ𝑡

=

𝑡

𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑟

.

(27.73)

Если δ≫1, то кванты в линии выходят из туманности в основном вследствие эффекта Доплера, и функция 𝑆(𝑡) определяется формулой (27.72). Если же δ≪1, то кванты покидают туманность в основном в крыльях линии. Такое заключение вполне понятно, так как величина δ на основании формул (27.55) и (27.68) по порядку равна отношению доли квантов, выходящих из туманности вследствие эффекта Доплера, и доли квантов, выходящих в крыльях, линии.

Формулу (27.73) мы можем переписать в виде

δ

=

Δ𝑟

𝑢

⋅

𝑑𝑣

𝑑𝑟

,

(27.74)

где Δ𝑟 — толщина туманности. Оценить величину 𝑑𝑣/𝑑𝑟 весьма трудно, однако надо иметь в виду, что для реальных туманностей вместо 𝑑𝑣/𝑑𝑟 надо брать 𝑑𝑣/𝑑𝑠, т.е. градиент скорости, усреднённый по всем направлениям. Как будет показано в § 28, в туманностях всегда 𝑑𝑣/𝑑𝑠≈𝑣/𝑟 (вследствие кривизны слоёв). Поэтому вместо формулы (27.74) получаем

δ

≈

Δ𝑟

𝑟

𝑣

𝑢

.

(27.75)

Применим формулу (27.75) к планетарным туманностям. Так как толщина туманности составляет несколько десятых её радиуса, а скорость расширения туманности в несколько раз больше средней термической скорости атома, то в данном случае δ — порядка единицы. Следовательно, функция 𝐿(𝑡) определяется самой формулой (27.66), а не её предельными случаями. Иными словами, при нахождении поля L_α-излучения в туманности надо принимать во внимание как выход кванта в крыльях линии, так и выход вследствие эффекта Доплера.

Представляет также интерес задача о нахождении поля L_α-излучения в оболочках новых звёзд. Скорости расширения этих оболочек гораздо больше скорости расширения планетарных туманностей. Поэтому в данном случае будет выполняться неравенство δ≫1. Следовательно, поле L_α-излучения в оболочках новых звёзд определяется в основном выходом квантов из оболочки вследствие эффекта Доплера.

4. Световое давление в туманностях.