Курс теоретической астрофизики

Уравнения (27.37) и (27.38) должны быть решены при граничных условиях, аналогичных (27.15). Пользуясь этими условиями, из указанных уравнений получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡):

𝑆(𝑡)

=

1

2

𝑡₀

∫

0

⎡

⎣

𝐾(|𝑡-𝑡'|)

+

𝐾(𝑡+𝑡')

⎤

⎦

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡'

+

𝑆₀(𝑡)

,

(27.40)

где

𝐾(𝑡)

=

𝐴

+∞

∫

-∞

α²(𝑥)

𝐸₁[𝑡α(𝑥)]

𝑑𝑥

(27.41)

и

𝑆₀(𝑡)

=

1-𝑝

𝑝

𝐴𝑞ℎν₁₂

Δν_𝐷

𝑆

_𝑐

(τ)

.

(27.42)

Заметим, что между оптическими расстояниями 𝑡 и τ существует очевидная связь:

τ

=

𝑞𝑡

,

τ₀

=

𝑞𝑡₀

(27.43)

Как показывают вычисления, 𝑞≈10⁻⁴. Поэтому мы видим, что при оптической толщине туманности сразу за пределом серии Лаймана порядка единицы (такие значения τ₀ следует принять для зоны 𝙷 II) оптическая толщина туманности в центре линии L_α будет порядка десятка тысяч.

Нахождение функции 𝑆(𝑡) из уравнения (27.40) полностью определяет поле L_α-излучения в туманности, так как после этого из уравнения (27.37) может быть найдена и интенсивность излучения 𝐼_ν(𝑡,θ). Через функцию 𝑆(𝑡) можно выразить и другие физические величины, связанные с L_α-излучением. Например, из формул (27.27) и (27.31) мы получаем следующее выражение для степени возбуждения второго уровня атома водорода:

𝑛₂

𝑛₁

=

𝑔₂

𝑔₁

𝑐²

2ℎν₁₂³

𝑆(𝑡)

.

(27.44)

Здесь мы воспользовались также формулами (8.12) и (8.5).

Ядро интегрального уравнения (27.40) выражается через функцию 𝐾(𝑡), которая в свою очередь зависит от величины α(𝑥). Поэтому и искомая функция 𝑆(𝑡) будет существенно зависеть от величины α(𝑥), характеризующей контур коэффициента поглощения.

Первоначально в теории диффузии L_α-излучения в туманностях принимался прямоугольный контур коэффициента поглощения, т.е. считалось, что α(𝑥)=1 при |𝑥|≤1 и α(𝑥)=0 при |𝑥|>1. В таком случае уравнение (27.40) имеет вид

𝑆(𝑡)

=

1

2

𝑡₀

∫

0

⎡

⎣

𝐸₁|𝑡-𝑡'|

+

𝐸₁(𝑡+𝑡')

⎤

⎦

𝑆(𝑡')

𝑑𝑡'

+

𝑆₀(𝑡)

.

(27.45)

Здесь мы не будем заниматься решением этого уравнения, а только укажем, что в результате получаются очень большие значения для плотности L_α-излучения в туманности. Это значит, что L_α-квант испытывает в туманности очень большое число рассеяний. Именно, среднее число рассеяний оказывается порядка квадрата оптической толщины туманности в центре линии L_α, т.е.

𝑁

≈

𝑡₀²

.

(27.46)

Следовательно, при 𝑡₀≈10⁴ будет 𝑁≈10⁸.

Однако предположение о прямоугольном контуре коэффициента поглощения является весьма грубым. В действительности коэффициент поглощения максимален в центре линии и постепенно убывает с удалением от него. Вследствие этого диффузия излучения в спектральной линии обладает следующей особенностью. Каждый квант, поглощённый в каком-либо месте туманности, может быть затем излучён на любом расстоянии от центра линии (так как ε_ν~𝑘_ν). В частности, он может быть излучён с такой частотой, что оптическая толщина туманности в этой частоте будет по порядку меньше единицы (т.е. 𝑡_ν⁰=𝑡₀α(𝑥)). Такой квант беспрепятственно выйдет из туманности. Следовательно, для каждого кванта, поглощённого в любом месте туманности, имеется определённая вероятность выйти из туманности наружу сразу после переизлучения. Очевидно, что такой процесс не может происходить в случае прямоугольного контура коэффициента поглощения. В этом случае квант выходит из туманности наружу только после длительной диффузии, подойдя близко к границе туманности.

Указанная особенность диффузии излучения в спектральной линии позволяет легко получить приближённое решение уравнения (27.40). Из сказанного выше следует, что L_α-квант, возникший в каком-либо месте туманности, выходит из неё наружу после диффузии в сравнительно небольшой области. Следовательно, плотность L_α-излучения в данном месте мало зависит от плотности излучения в далёких от него частях туманности. Поэтому в уравнении (27.40) мы можем приближённо вынести за знак интеграла значение функции 𝑆(𝑡') при 𝑡'=𝑡. Сделав это, получаем

𝑆(𝑡)

⎡

⎢

⎣

1-

∞

∫

0

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

+

1

2

∞

∫

𝑡₀-𝑡

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

+

+

1

2

∞

∫

𝑡₀+𝑡

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

⎤

⎥

⎦

=

𝑆₀(𝑡)

.

(27.47)

Но из (27.41) следует

∞

∫

0

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

=

1.

(27.48)

Поэтому из (27.47) находим

𝑆(𝑡)

=

2𝑆₀(𝑡)

𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)

,

(27.49)

где

𝐿(𝑡)

=

∞

∫

𝑡

𝐾(𝑢)

𝑑𝑢

=

𝐴

+∞

∫

-∞

α²(𝑥)

𝐸₂[α(𝑥)𝑡]

𝑑𝑥

,

(27.50)

𝐸₂𝑡 — вторая интегрально-показательная функция.

Легко видеть, что величина ½[𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)] представляет собой долю L_α-квантов, выходящих из туманности, из общего числа L_α-квантов, излучаемых на оптическом расстоянии 𝑡 от внутренней границы туманности. Следовательно, соотношение (27.49) выражает равенство между собой числа L_α-квантов, возникающих в данном объёме из 𝐿_𝑐-излучения, и числа L_α-квантов, излучаемых этим объёмом и покидающих туманность.

Мы можем считать, что отношение 𝑆(𝑡)/𝑆₀(𝑡) приближённо определяет собой среднее число рассеяний, испытываемых L_α-квантом, возникшим на оптическом расстоянии 𝑡. Из формулы (27.49) следует, что это число приближённо равно

𝑁(𝑡)

=

2

𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)

.

(27.51)

Формулу (27.51) легко понять и на основании физического смысла величины 𝐿(𝑡).

Рассмотрим в виде примера случай, когда коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е. α(𝑥)=𝑒^-𝑥². В этом случае

𝐾(𝑡)

=

2

√π

∞

∫

0

α(𝑥)=𝑒

^-2𝑥²

𝐸₁(𝑡𝑒

^-𝑥²

)

𝑑𝑥

(27.52)

и

𝐿(𝑡)

=

2

√π

∞

∫

0

α(𝑥)=𝑒

^-𝑥²

𝐸₂(𝑡𝑒

^-𝑥²

)

𝑑𝑥

(27.53)

При 𝑡≫1 из (27.52) и (27.53) вытекают следующие асимптотические формулы: