Курс теоретической астрофизики

где ε₁_ν — объёмный коэффициент излучения при рекомбинациях на первый уровень. Как следует из формулы (26.2), величина ε₁_ν может быть представлена в виде

ε₁

_ν

=

ε₁

_ν₁

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎ(ν-ν₁)

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(27.5)

Пусть τ — оптическое расстояние какого-либо места в туманности от её внутренней границы в частоте ν₁ т.е.

τ

=

𝑟

∫

𝑟₁

𝑛₁

𝑘₁

_ν₁

𝑑𝑟

.

(27.6)

При помощи формул (27.2), (27.5) и (27.6) вместо уравнения (27.4) находим

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑τ

=-

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν

⎞³

⎟

⎠

𝐼

_ν

+

ε₁_ν₁

𝑛₁𝑘₁_ν₁

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎ(ν-ν₁)

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(27.7)

Очевидно, что величины 𝐶₁ и ε₁_ν₁ должны быть связаны между собой. Подстановка (27.5) в (26.3) даёт

𝑛

_𝑒

𝑛⁺𝐶₁

=

4π

ε₁_ν₁

ℎ

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(27.8)

Введём обозначение

𝑆

_𝑐

(τ)

=

𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶₁

4π𝑛₁𝑘₁_ν₁

.

(27.9)

Тогда уравнения (27.7) и (27.3) принимают вид

cos θ

𝑑𝐼

_ν

=-

⎛

⎜

⎝

ν₁

⎞

⎟

⎠

𝐼

_ν

+

ℎ

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

⎞

⎟

⎠

𝑆

_𝑐

(τ)

𝑑τ

ν

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ₁

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_𝑒

𝑘𝑇

_𝑒

(27.10)

и

𝑆

_𝑐

(τ)

=

𝑝

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν

⎞³

⎟

⎠

𝑑ν

ℎν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

4π

+

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

,

(27.11)

где

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

=

𝑝

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν

⎞³

⎟

⎠

𝑑ν

ℎν

∫

𝐼

_ν

⁰

𝑑ω

4π

(27.12)

Интенсивность излучения, приходящего от звезды в данное место туманности, очевидно, равна

𝐼

_ν

⁰

=

𝐼

_ν

⃰

exp

⎡

⎢

⎣

-τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν

⎞³

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(27.13)

где 𝐼_ν⃰ — интенсивность излучения, выходящего из атмосферы звезды. Поэтому находим

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

=

𝑝𝑊

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν

⎞³

⎟

⎠

𝐼

_ν

⃰

exp

⎡

⎢

⎣

-τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν

⎞³

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑ν

ℎν

,

(27.14)

где 𝑊 — коэффициент дилюции излучения.

Таким образом, для определения двух искомых величин 𝐼_ν(τ,θ) и 𝑆_𝑐(τ) мы получили два уравнения, (27.10) и (27.11). К этим уравнениям надо добавить ещё граничные условия, которые в данном случае имеют вид

𝐼

_ν

(0,θ)

=

𝐼

_ν

(0,π-θ)

,

𝐼

_ν

(τ₀,θ)

при

θ

>

π

2

.

(27.15)

Рис. 34

Первое из этих условий, имеющее место на внутренней границе туманности (при τ=0), означает, что интенсивность излучения, выходящего из туманности, равна интенсивности излучения, входящего в туманность. Это происходит потому, что излучение, входящее в туманность в каком-либо месте на внутренней границе под углом θ к нормали, есть не что иное, как излучение, выходящее из туманности под углом π-θ на противоположной стороне (рис. 34). Второе же условие показывает, что на внешней границе туманности (при τ=τ₀) нет излучения, идущего внутрь. Из уравнения (27.10) при граничных условиях (27.15) можно найти выражение для интенсивности излучения 𝐼_ν(τ,θ) через функцию 𝑆_𝑐(τ). Подставляя это выражение в уравнение (27.11), получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆_𝑐(τ):

𝑆

_𝑐

(τ)

=

𝑝

2

τ₀

∫

0

⎡

⎣

𝐾(|τ-τ'|)

+

𝐾(τ-τ')

⎤

⎦

×

×

𝑆

_𝑐

(τ')

𝑑τ'

+

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

,

(27.16)

где

𝐾(τ)

=

∞

∫

ν₁

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν₁

⎞

⎟

⎠

³

  𝐸₁

⎡

⎢

⎣ τ

⎛

⎜

⎝

ν₁

ν₁

⎞

⎟

⎠

³

⎤

⎥

⎦ exp

⎛

⎜

⎝ -

ℎν

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑑ν

ν

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

.

(27.17)

Уравнение (27.16) может быть изучено методами, изложенными в § 3. В частности, при τ₀ можно получить точное решение этого уравнения в явном виде.

Для упрощения рассматриваемой задачи иногда вводят средний коэффициент поглощения для всего лаймановского континуума и под τ понимают соответствующее ему оптическое расстояние. Как легко видеть, тогда вместо уравнения (27.16) имеем

𝑆

_𝑐

(τ)

=

𝑝

2

τ₀

∫

0

⎡

⎣

𝐸₁|τ-τ'|

+

𝐸₁(τ-τ')

⎤

⎦

×

×

𝑆

_𝑐

(τ')

𝑑τ'

+

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

.

(27.18)

Что же касается величины 𝑆_𝑐⁰(τ), то её можно представить в виде

𝑆

_𝑐

⁰(τ)

=

𝑝

𝑁_𝑐

4π

𝑒

^-τ

,

(27.19)

где 𝑁_𝑐 — число квантов лаймановского континуума, падающих от звезды на 1 см² внутренней границы туманности за 1 с.

При τ₀=∞ точное решение уравнения (27.18), полученное указанным выше методом, имеет вид

𝑆

_𝑐

(τ)

=

𝑝

𝑁_𝑐

4π

⎧

⎨

⎩

𝑒

^-τ

+

+

1

2

∞

∫

0

Φ(τ')

⎡

⎣

𝑒

^-|τ-τ'|

+

𝑒

^-(τ+τ')

⎤

⎦

𝑑τ'

⎫

⎬

⎭

,

(27.20)

где

Φ(τ)

=

4𝑝

∞

∫

1

𝑥𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

+

(𝑝π)²

+

⎛

⎜

⎝

2𝑥

+

𝑝 ln

𝑥-1

⎞

⎟

⎠

²

𝑥+1

+

2𝑘(1-𝑘²)

𝑒

^-𝑘τ

,

𝑝+𝑘²-1

(27.21)

и 𝑘 определяется из уравнения

𝑝

2𝑘

ln

1+𝑘

1-𝑘

=

1

.

(27.22)

В таблице 42 приведены значения величины 4π𝑆_𝑐(τ)/𝑝 вычисленные при помощи формулы (27.20).

Таблица 42

Значения величины 4π𝑆_𝑐(τ)/𝑝

τ

𝑝

0,0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0

1,0

1,13

1,20

1,30

1,42

1,61

1,93

2,68

0,2

0,82

0,97

1,04

1,14

1,27

1,46

1,79

2,54

0,4

0,67

0,81

0,87

0,96

1,09

1,27

1,59

2,32

0,6

0,55

0,67

0,71

0,81

0,92

1,10

1,40

2,11

0,8

0,45

0,55

0,60

0,68

0,78

0,94

1,23

1,91

1,0

0,37

0,46

0,50

0,57

0,66

0,81

1,08

1,73

1,5

0,22

0,28

0,32

0,36

0,43

0,55

0,76

1,34

2,0

0,14

0,17

0,20

0,23

0,28

0,37

0,54

1,03

2,5

0,08

0,11

0,12

0,15

0,18

0,25

0,38

0,80

3,0

0,05

0,06

0,08

0,09

0,12

0,16

0,27

0,62

При τ≫1 из формулы (27.20) можно получить следующее асимптотическое выражение для функции 𝑆_𝑐(τ):

𝑆

_𝑐

(τ)

=

𝑁_𝑐

2π

𝑘𝑝

𝑝+𝑘²-1

𝑒

^-𝑘τ

.

(27.23)

Значения величины 𝑘, найденные из уравнения (27.22), приведены в таблице:

𝑝

0

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

𝑘

1,00

0,96

0,91

0,82

0,70

0,52

0

Из таблицы 42 видно, что роль диффузного излучения существенно зависит от величины параметра 𝑝. В случае диффузии L_𝑐-излучения этот параметр равен

𝑝

=

𝐶₁(𝑇

_𝑒

)

×

⎛

⎜

⎝

∞

∫

1

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

⎞⁻¹

⎟

⎠

(27.24)

Вычисления по формуле (27.24) дают:

𝑇

_𝑒

, K

5 000

10 000

20 000

50 000

𝑝

0,39

0,44

0,49

0,57

Как мы знаем, электронные температуры туманностей порядка 10 000 K. Поэтому из табл. 42 следует, что в туманностях содержится примерно такое же число квантов диффузного L_𝑐-излучения, как и число L_𝑐-квантов, приходящих непосредственно от звезды. Таким образом, надо признать, что роль диффузного L_𝑐-излучения в туманностях не очень велика (даже в рассмотренном нами случае τ₀=∞, когда она максимальна).