Курс теоретической астрофизики

Формула (36.6) даёт для водорода μ=¹/₂, для гелия μ=⁴/₃, для других элементов μ≈2. Таким образом, средняя молекулярная масса внутри звезды заключена в сравнительно небольших пределах. Однако даже небольшие различия в величине μ весьма существенны. Это объясняется тем, что температура согласно формуле (35.28) пропорциональна μ, а от температуры чрезвычайно сильно зависит количество энергии, выделяющейся при ядерных реакциях.

На самом деле звезда состоит из смеси разных элементов. Чтобы получить формулу для μ в этом случае, обозначим через 𝑥_𝑍 весовую долю элемента с атомным номером 𝑍 (т.е. будем считать, что на грамм звёздного вещества приходится 𝑥_𝑍 граммов атомов данного элемента). Для величины 𝑛 теперь находим

𝑛

=

∑

𝑥_𝑍ρ

𝐴𝑚_𝙷

(1+𝑍)

,

(36.7)

где суммирование производится по всем элементам. Подстановка (36.7) в (36.3) даёт

μ

=

1

.

∑

𝑥

_𝑍

(1+𝑍)

𝐴

(36.8)

Пусть 𝑋 — весовая доля водорода, 𝑌 — весовая доля гелия и 1-𝑋-𝑌 — весовая доля других элементов. Тогда вместо (36.8) получаем

μ

=

1

,

2𝑋

+

3

𝑌

+

1

(1-𝑋-𝑌)

4

2

(36.9)

или

μ

=

1

6𝑋+𝑌+2

.

(36.10)

Как уже сказано, формула (36.10) справедлива только при полной ионизации атомов в данном месте звезды. Если ионизацию нельзя считать полной, то в формуле (36.8) вместо 𝑌 следует написать число оторванных от атома электронов. Это число может быть определено при помощи формулы ионизации (36.1).

2. Вырождение газа.

При углублении в звезду вместе с температурой увеличивается и плотность. Особенно сильное возрастание плотности происходит во внешних слоях звёзд с большим ускорением силы тяжести на поверхности (в частности, у белых карликов). В этих случаях внутри звёзд могут существовать области, в которых газ является вырожденным, т.е. не подчиняющимся законам, вытекающим из классической статистики. Поэтому наряду с уравнением состояния (36.4) нам следует также иметь уравнение состояния вырожденного газа.

Рассмотрим газ, состоящий из свободных электронов. Как известно, такой газ подчиняется статистике Ферми — Дирака, справедливой для частиц, обладающих двумя свойствами: 1) частицы являются неразличимыми, 2) в каждой ячейке фазового пространства не может находиться более двух частиц. Согласно указанной статистике число свободных электронов с импульсами от 𝑝 до 𝑝+𝑑𝑝 даётся формулой

𝑑𝑛

_𝑒

=

8π𝑝²𝑑𝑝

1

,

ℎ³

𝐷

exp

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

+1

2𝑚𝑘𝑇

(36.11)

в которой величина 𝐷 определяется из того условия, что задано полное число свободных электронов в единице объёма, т.е.

𝑛

_𝑒

=

8π

∞

∫

0

𝑝²𝑑𝑝

.

ℎ³

𝐷

exp

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

+1

2𝑚𝑘𝑇

(36.12)

Чтобы получить уравнение состояния электронного газа, надо написать выражение для давления. Если скорости частиц малы по сравнению со скоростью света, то мы имеем

𝑃

_𝑒

=

2

3

∫

𝑝²

2𝑚

𝑑𝑛

_𝑒

,

(36.13)

или, на основании (36.11),

𝑃

_𝑒

=

8π

∞

∫

0

𝑝⁴𝑑𝑝

.

3𝑚ℎ³

𝐷

exp

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

+1

2𝑚𝑘𝑇

(36.14)

Из соотношений (36.12) и (36.14) путём исключения величины 𝐷 можно получить зависимость между 𝑃_𝑒, 𝑛_𝑒 и 𝑇, т.е. искомое уравнение состояния газа.

Предположим сначала, что 𝐷≫1. Тогда из соотношений (36.12) и (36.14) находим

𝑛

_𝑒

=

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝐷

⎛

⎜

⎝

1-

1

2³^/²𝐷

+…

⎞

⎟

⎠

,

(36.15)

𝑃

_𝑒

=

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝐷

𝑘𝑇

⎛

⎜

⎝

1-

1

2⁵^/²𝐷

+…

⎞

⎟

⎠

.

(36.16)

Отсюда приближённо следует:

𝑃

_𝑒

=

𝑛

_𝑒

𝑘𝑇

⎛

⎜

⎝

1-

1

2⁵^/²𝐷

+…

⎞

⎟

⎠

(36.17)

и

𝐷

=

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝑛_𝑒

.

(36.18)

Мы видим, что уравнение состояния (36.17) мало отличается от уравнения состояния обычного идеального газа. Следовательно, в рассматриваемом случае газ слабо вырожден. Если величина 𝐷 очень велика, то вырождением можно пренебречь. Это соответствует пренебрежению единицей в знаменателе формулы (36.11) и означает переход квантовой статистики в классическую.

Если же величина 𝐷 мала, т.е.

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝑛_𝑒

≪

1,

(36.19)

то газ будет сильно вырожденным. При этом вырождение будет тем сильнее, чем меньше температура и больше плотность.

Для численных оценок надо иметь в виду, что 𝐷=5⋅10¹⁵ 𝑇³^/²/𝑛_𝑒 и газ является сильно вырожденным, когда 𝐷≪1. Так как внутри звёзд температуры очень высоки, то это неравенство осуществляется лишь при очень больших плотностях. Например, при 𝑇≈10⁷ кельвинов должно быть 𝑛_𝑒≫10²⁶ см⁻³.

Уравнение состояния сильно вырожденного электронного газа также может быть получено из соотношений (36.12) и (36.14). Предположим сначала, что 𝑇=0. В этом случае согласно классической статистике все частицы находятся в ячейке фазового пространства с импульсом 𝑝=0 и, следовательно, давление газа равно нулю. Однако в действительности электроны подчиняются принципу Паули, не допускающему присутствия более двух частиц в каждой ячейке. Поэтому при 𝑇=0 электроны занимают все ячейки с импульсами от 𝑝=0 до некоторого 𝑝_max, а давление газа отлично от нуля.

В данном случае вместо (36.11) имеем

𝑑𝑛

_𝑒

=

8π𝑝²𝑑𝑝

ℎ³

(36.20)

и из соотношений (36.12) и (36.14) находим:

𝑛

_𝑒

=

8π

ℎ³

𝑝_max

∫

0

𝑝²

𝑑𝑝

=

8π

3ℎ³

𝑝

_max

³

,

(36.21)

𝑃

_𝑒

=

8π

3𝑚ℎ³

𝑝_max

∫

0

𝑝⁴

𝑑𝑝

=

8π

15𝑚ℎ³

𝑝

_max

⁵

.

(36.22)

Подстановка 𝑝_max из (36.21) в (36.22) даёт

𝑃

_𝑒

=

1

10

⎛

⎜

⎝

3

π

⎞²/₃

⎟

⎠

ℎ²

𝑚

𝑛

_𝑒

⁵

^/

³

.

(36.23)