Курс теоретической астрофизики

Мы получили уравнение состояния полностью вырожденного электронного газа. Хотя при его выводе и принималось 𝑇=0, однако оно с большой точностью справедливо при любых температурах, удовлетворяющих неравенству 𝐷≪1. Это следует из того, что при малых 𝐷 формулы (36.12) и (36.14) приводят к уравнению (36.23) с множителем в правой части, равным

1+

20

3

⎛

⎜

⎝

π

6

⎞⁴/₃

⎟

⎠

𝐷⁴

^/

³

.

Таким образом, чем меньше 𝐷, т.е. чем сильнее вырождение, тем точнее уравнение состояния (36.23). Подчеркнём, что в это уравнение не входит температура, хотя она и может быть очень высокой.

При выводе уравнения (36.23) была использована для давления формула (36.13), справедливая лишь при скоростях частиц, малых по сравнению со скоростью света. Это значит, что уравнение (36.23) относится к нерелятивистскому газу. Однако с увеличением концентрации свободных электронов, как следует из формулы (36.21), растёт их максимальный импульс, а значит, и скорости могут стать близкими к скорости света. Поэтому мы должны получить уравнение состояния электронного газа, которое годилось бы и для этого случая.

Если частицы могут иметь скорости, близкие к скорости света, то вместо формулы (36.13) мы должны написать

𝑃

_𝑒

=

1

∫

𝑝²

𝑑𝑛

_𝑒

,

3𝑚

⎛

⎜

⎝

1+

𝑝²

⎞

⎟

⎠

½

𝑚²𝑐²

(36.24)

Подставляя сюда выражение (36.20), получаем

𝑃

_𝑒

=

8π

𝑝_max

∫

0

𝑝²

𝑑𝑝

,

3𝑚ℎ³

⎛

⎜

⎝

1+

𝑝⁴

⎞

⎟

⎠

½

𝑚²𝑐²

(36.25)

или, после интегрирования,

𝑃

_𝑒

=

π𝑚⁴𝑐⁵

3ℎ³

⎡

⎣

𝑥(2𝑥²-3)

√

1+𝑥²

+

3

arcsh

𝑥

⎤

⎦

,

(36.26)

где обозначено 𝑥=𝑝_max/𝑚𝑐.

Формулу (36.21) мы можем переписать теперь в виде

𝑛

_𝑒

=

8π𝑚³𝑐³

3ℎ³

𝑥³

.

(36.27)

Соотношения (36.26) и (36.27) представляют собой уравнение состояния полностью вырожденного электронного газа в параметрической форме. Это уравнение справедливо при любых скоростях электронов.

Если 𝑥≪1 то из соотношений (36.26) и (36.27) вытекает ранее полученное уравнение (36.23) для нерелятивистского газа. Если же 𝑥≫1, то из указанных соотношений следует

𝑃

_𝑒

=

1

8

⎛

⎜

⎝

3

π

⎞¹/₃

⎟

⎠

𝑐ℎ

𝑛

_𝑒

⁴

^/

³

.

(36.28)

Это есть уравнение, состояния релятивистского полностью вырожденного электронного газа.

Приравнивая друг к другу значения 𝑃_𝑒 даваемые формулами (36.23) и (36.28), мы можем определить граничное значение 𝑛_𝑒 отделяющее область нерелятивистского газа от области релятивистского газа. Это значение 𝑛_𝑒 оказывается порядка 10³⁰ см⁻³. Следовательно, при 𝑛_𝑒≪10³⁰ см⁻³ вырожденный газ является нерелятивистским, а при 𝑛_𝑒≫10³⁰ см⁻³ — релятивистским. Формулы (36.26) и (36.27) охватывают как оба эти случая, так и промежуточную между ними область.

3. Перенос энергии внутри звезды.

Выше уже отмечалось, что важную роль в переносе энергии внутри звезды играет лучеиспускание. Поэтому необходимо выяснить, при каких процессах происходит поглощение лучистой энергии внутри звезды. Как и в фотосферах, основными из этих процессов являются следующие: 1) переходы электронов из связанных состояний в свободные, т.е. фотоионизация атомов, 2) переходы электронов из свободных состояний в свободные, 3) рассеяние излучения на свободных электронах.

Вследствие очень высоких температур внутри звезды лёгкие атомы (в частности, водород и гелий) полностью ионизованы. Поэтому поглощение излучения, связанное с фотоионизацией атомов, может производиться лишь тяжёлыми атомами. Так как тяжёлые атомы также лишены значительной части своих электронов, то приближённо их можно считать водородоподобными. Коэффициент поглощения, обусловленный фотоионизацией атомов водорода, даётся формулой (5.8) гл. I. Аналогично пишется и коэффициент поглощения, обусловленный фотоионизацией водородоподобных атомов:

α

_ν

́

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π𝑒⁶

3√3 𝑐ℎ 𝑚

𝑍₁²

(2π𝑚𝑘𝑇)¹^/²

χ₁

𝑘𝑇

1

ν³

×

×

∞

∫

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑘ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(36.29)

где 𝑍₁ — эффективный заряд иона.

Свободно-свободные переходы электронов происходят в основном в поле ядер водорода и гелия. Коэффициент поглощения, обусловленный этими переходами, равен

α

_ν

ʺ

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2³π𝑒⁶𝑍₁²

3√3 𝑐ℎ 𝑚(2π𝑚𝑘𝑇)¹^/²

𝑔_ν

ν³

.

(36.30)

При 𝑍₁=1 т.е. для водорода, из этой формулы получается формула (5.10) гл. I.

Коэффициент рассеяния на свободных электронах, как известно, даётся формулой

σ

_𝑒

=

𝑛

_𝑒

σ₀

=

𝑛

_𝑒

8π

3

⎛

⎜

⎝

𝑒²

𝑚𝑐²

⎞²

⎟

⎠

.

(36.31)

В уравнение (35.46), выражающее энергетическое равновесие звезды, входит средний коэффициент поглощения ϰ, рассчитанный на единицу массы. Поэтому приведённые выше выражения для объёмных коэффициентов поглощения следует усреднить по частоте и воспользоваться соотношением α=ϰρ.

Средний коэффициент поглощения атомами водорода уже был определён в гл. I и даётся формулой (5.34). Указанная формула применима и к водородоподобным атомам. Основываясь на ней, можно получить следующие выражения для коэффициентов поглощения, обусловленных фотоионизациями и свободно-свободными переходами соответственно:

ϰ'

=

2,4

χ₁

𝑘𝑇

𝑛_𝑒𝑛⁺

ρ

80𝑒⁶ℎ²𝑍₁²

π²√3 𝑐 (2π𝑚)³^/²

𝑔

(𝑘𝑇)⁷^/²

(36.32)

и

ϰʺ

=

𝑛_𝑒𝑛⁺

ρ

80𝑒⁶ℎ²𝑍₁²

π²√3 𝑐 (2π𝑚)³^/²

𝑔

(𝑘𝑇)⁷^/²

.

(36.33)

Здесь через 𝑔 обозначено среднее значение множителя Гаунта.