Курс теоретической астрофизики

Входящие в формулы (36.32) и (36.33) величины 𝑛_𝑒 и 𝑛⁺ зависят от плотности и химического состава. Пусть, как и раньше, 𝑋 — весовая доля водорода и 𝑌 — весовая доля гелия. Число свободных электронов в 1 см³, возникающих при ионизации водорода и гелия, равно соответственно 𝑋ρ/𝑚_𝙷 и 𝑌ρ/2𝑚_𝙷. Можно считать, что ионизация тяжёлых элементов даёт

1

2

𝐴(1-𝑋-𝑌)

ρ

𝐴𝑚_𝙷

электронов в 1 см³. Поэтому полная концентрация свободных электронов будет равна

𝑛

_𝑒

=

1

2

(1+𝑋)

ρ

𝑚_𝙷

.

(36.34)

Величина 𝑛⁺, входящая в формулу (36.32), представляет собой концентрацию атомов данного элемента в стадии ионизации, следующей за той, в которой находятся поглощающие атомы. Очевидно, что в каждом месте звезды поглощение производится в основном атомами, находящимися в одной определённой стадии ионизации. Как уже говорилось, для этой стадии ионизации величина χ₁/𝑘𝑇 должна быть порядка единицы. Величину 𝑛⁺ можно приближённо считать равной концентрации всех атомов рассматриваемого элемента, т.е. равной весовой доле этого элемента, умноженной на ρ/𝐴𝑚_𝙷. Суммируя величины 𝑛⁺𝑍₁² для всех тяжёлых атомов и принимая для 𝑍₁²/𝐴 некоторое среднее значение, получаем величину

(1-𝑋-𝑌)

ρ

𝑚_𝙷

𝑍₁²

𝐴

.

Разумеется, этот подсчёт является довольно грубым.

Величина 𝑛⁺, входящая в формулу (36.33), есть концентрация ионизованных атомов водорода или гелия. Для водорода величина 𝑛⁺𝑍₁² равна 𝑋ρ/𝑚_𝙷, а для гелия 𝑌ρ/𝑚_𝙷. Сумма этих величин равна

(𝑋+𝑌)

ρ

𝑚_𝙷

.

Принимая во внимание сказанное, вместо формул (36.32) и (36.33) получаем

ϰ'

=

𝐶'

𝑔

(1+𝑋)

(1-𝑋-𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

(36.35)

и

ϰʺ

=

𝐶ʺ

𝑔

(1+𝑋)

(𝑋+𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

,

(36.36)

где 𝐶' и 𝐶ʺ — некоторые постоянные.

Формулы (36.35) и (36.36) получены путём усреднения коэффициентов поглощения по частоте при весовой функции, представляющей собой планковскую интенсивность. Обычно же средние коэффициенты поглощения находятся по формуле Росселанда. Однако и в этом случае получаются формулы, похожие на формулы (36.35) и (36.36). Некоторое различие между ними заключается лишь в численных коэффициентах. Например, в книге М. Шварцшильда [4] приводятся следующие выражения для росселандовых средних:

ϰ'

=

4,3⋅10²⁵

𝑔

𝑡

(1+𝑋)

(1-𝑋-𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

,

(36.37)

ϰʺ

=

4,3⋅10²²

𝑔

(1+𝑋)

(𝑋+𝑌)

ρ

(𝑘𝑇)⁷^/²

.

(36.38)

Здесь 𝑡 — так называемый гильотинный множитель (порядка единицы).

Коэффициент рассеяния на свободных электронах, определённый формулой (36.31), не зависит от частоты. Полагая σ_𝑒=ϰ_𝑒ρ и пользуясь формулой (36.34), получаем

ϰ

_𝑒

=

σ₀

2𝑚_𝙷

(1+𝑋)

=

0,2

(1+𝑋)

.

(36.39)

Формулами (36.37) — (36.39) определяются средние коэффициенты поглощения в зависимости от химического состава, плотности и температуры. Из этих формул можно заключить, что наибольшую роль в поглощении лучистой энергии внутри звёзд играет фотоионизация. Свободно-свободные переходы вносят заметный вклад в поглощение лишь при большом относительном содержании водорода и гелия. Рассеяние света на свободных электронах имеет существенное значение при малых плотностях и высоких температурах.

Кроме лучеиспускания, некоторую роль в переносе энергии внутри звёзд играет теплопроводность. Количество тепловой энергии внутри звезды даже превосходит количество лучистой энергии. Однако лучеиспускание играет все же бо́льшую роль по сравнению с теплопроводностью, так как скорость и длина свободного пробега для фотонов гораздо больше, чем для электронов. В каждом месте звезды происходят переходы тепловой энергии в лучистую и обратно (при поглощении и излучении фотонов) и перенос энергии в основном совершается тогда, когда она находится в форме лучистой энергии. В некоторых же случаях необходимо принимать во внимание и перенос энергии электронной теплопроводностью. Относительная роль электронной теплопроводности растёт с увеличением плотности. Особенно велика эта роль в случае белых карликов вследствие вырождения в них электронного газа. Объясняется это тем, что в вырожденном газе заняты все нижние состояния и длина свободного пробега электрона оказывается очень большой.

Когда мы занимались фотосферой Солнца, то был рассмотрен (в § 15) ещё один механизм переноса энергии — конвекция. В поверхностных слоях звёзд конвективный перенос энергии может играть значительную роль. Применение критерия (15.10) гл. III показало, что и в некоторых частях внутри звезды лучистое равновесие может оказаться неустойчивым и должна возникнуть конвекция. Если мощность источников энергии сильно возрастает при приближении к центру звезды, то в звезде должно существовать конвективное ядро. В этом случае уравнение (35.46), выражающее условие энергетического равновесия звезды, должно быть соответствующим образом изменено.

4. Ядерные реакции как источник звёздной энергии.

При поисках источников звёздной энергии давно была высказана мысль о возможности выделения больших количеств энергии в ходе ядерных реакций. Допустим, что при некоторой реакции образуется ядро, масса которого на величину Δ𝑀 меньше суммы масс ядер, вступающих в реакцию. Тогда на основании принципа Эйнштейна, утверждающего эквивалентность массы и энергии, при такой реакции выделяется энергия

Δ

𝐸

=