Курс теоретической астрофизики

2. Методы расчёта звёздных моделей.

Выше мы видели, что решение проблемы внутреннего строения звёзд сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (37.1) — (37.4) при граничных условиях (37.5) и (37.6). Это интегрирование выполняется численно с помощью электронных вычислительных машин. В результате получаются теоретические модели звёзд. Сейчас мы кратко опишем некоторые методы, применяемые при расчётах звёздных моделей.

Интегрирование указанных уравнений можно начать от центра звезды. Так как при 𝑟=0 известны значения только двух искомых функций (𝑀_𝑟=0 и 𝐿_𝑟=0), то в этой точке мы должны задать также значения давления и температуры. При малых 𝑟 решение рассматриваемых уравнений можно получить в виде ряда. Ограничиваясь членами порядка 𝑟³, имеем

𝑀

_𝑟

=

4

3

πρ

_𝑐

𝑟³

,

(37.7)

𝐿

_𝑟

=

4

3

πρ

_𝑐

ε

_𝑐

𝑟³

,

(37.8)

𝑃

=

𝑃

_𝑐

-

2

3

π𝐺

ρ

_𝑐

²

𝑟²

,

(37.9)

𝑇

=

𝑇

_𝑐

-

ϰ_𝑐ε_𝑐ρ_𝑐²

8𝑎𝑐𝑇_𝑐

𝑟²

,

(37.10)

где индексом 𝑐 отмечены величины в центре звезды. Для перехода от малых 𝑟 к большим следует применить численное интегрирование уравнений. Оно заканчивается тогда, когда плотность и температура достигают своих значений на поверхности звезды (ρ=0 и 𝑇=0). При этом получаются определённые значения для массы звезды 𝑀, её светимости 𝐿 и радиуса 𝑅. Однако такая модель может сильно отличаться от реальных звёзд, т.е. не удовлетворять соотношениям «масса — светимость» и «спектр — светимость». Чтобы устранить расхождение, надо пытаться подобрать более подходящие значения 𝑃_𝑐 и 𝑇_𝑐. Если и это не приведёт к цели, то должен быть изменён принятый химический состав.

Интегрирование системы уравнений (37.1) — (37.4) можно начать также от поверхности звезды. Для внешних слоёв звезды, как и для её центральной области, может быть получено решение в аналитической форме. Оно основывается на том, что во внешних слоях отсутствуют источники энергии и в них содержится лишь очень небольшая доля массы звезды. Поэтому можно считать, что в этих слоях 𝑀_𝑟=𝑀 и 𝐿_𝑟=𝐿. Следовательно, нам надо определить только изменение с 𝑟 температуры и давления.

Разделив (37.1) на (37.3) и пользуясь постоянством массы и светимости, находим

𝑑𝑃

𝑑𝑇

=

16π𝐺 𝑎𝑐 𝑀

3ϰ𝐿

𝑇³

.

(37.11)

Входящий сюда коэффициент поглощения ϰ на основании (36.37) и (36.38) может быть представлен в виде

ϰ

=

ϰ₀

ρ

𝑇⁷^/²

,

(37.12)

где ϰ₀=const. Подставляя (37.12) в (37.11), применяя уравнение состояния (36.4) и производя интегрирование, получаем

𝑃²

=

64π𝐺 𝑀𝑎𝑐 𝑅^∗

51ϰ₀ μ𝐿

𝑇¹⁷

^/

²

.

(37.13)

Формула (37.13) связывает давление с температурой. Чтобы получить зависимость температуры от глубины, надо в уравнение (37.3) подставить выражения (37.12), (37.13) и (36.4). Делая это и интегрируя, находим

𝑇

=

4𝐺𝑀μ

17𝑅^∗

⎛

⎜

⎝

1

𝑅

-

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

.

(37.14)

При переходе от внешних слоёв звезды к внутренним путём численного интегрирования уравнений (37.1) — (37.4) определяется структура звезды и, в частности, находятся значения плотности и температуры в её центре (т.е. величины ρ_𝑐 и 𝑇_𝑐). Однако при таком интегрировании на некоторой глубине мы можем встретиться с условиями, которые потребуют изменения исходных уравнений. Примером может служить быстрое увеличение плотности, приводящее к вырождению газа. В этом случае уравнение (36.4) надо заменить уравнениями состояния вырожденного газа, приведёнными в предыдущем параграфе. В качестве другого примера укажем наступление конвекции, вызванное быстрым нарастанием температуры. Вследствие этого вместо радиативного переноса энергии следует рассматривать перенос энергии конвекцией. Отметим ещё, что на некоторой глубине может оказаться исчерпанной вся заданная масса звезды. В таком случае необходимо изменить принятый химический состав. Изменения в химическом составе надо сделать и тогда, когда при достижении центра звезды мы ещё не исчерпали всю массу или светимость.

Для звёзд сложной структуры интегрирование рассматриваемых уравнений от поверхности оказывается более удобным, чем от центра. Однако на практике при расчёте одной и той же модели интегрирование обычно ведут и от поверхности, и от центра, а затеи на определённой глубине оба решения «сшивают» (т.е. добиваются непрерывности на этой глубине всех искомых функций).

Для решения уравнений (37.1) — (37.4), кроме описанного «метода сшивания», был также предложен «разностный метод», нашедший довольно широкое применение. В этом методе весь промежуток интегрирования делят на большое число мелких интервалов и искомыми величинами считаются значения неизвестных функций в точках деления. Входящие же в исходные уравнения дифференциалы заменяются соответствующими разностями. В результате задача сводится к решению системы алгебраических уравнений высокого порядка. Для удобства вычислений в качестве независимой переменной вместо 𝑟 используют массу, заключённую в сфере радиуса 𝑟, а также делают другие преобразования переменных. Применение разностного метода требует мощных электронных вычислительных машин.