Курс теоретической астрофизики

𝑐²

Δ

𝑀

,

(36.40)

где 𝑐 — скорость света.

Основную роль в выделении энергии внутри звёзд играют ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Как известно, атомная масса водорода равна 1,008, а атомная масса гелия равна 4,003 (в кислородных единицах). Поэтому при образовании из четырёх атомов водорода одного атома гелия выделяется энергия, соответствующая приблизительно 0,7% массы. Следовательно, звезда, состоящая первоначально из водорода, должна при превращении водорода в гелий выделить энергию, равную

Δ

𝐸

=

6⋅10¹⁸

𝑀

,

(36.41)

где 𝑀 — масса звезды. В частности, для Солнца получаем Δ𝐸≈10⁵² эрг. Эта энергия может обеспечить излучение Солнца при нынешней его светимости в течение 10¹¹ лет, т.е. достаточно долго с точки зрения современных представлений о сроках существования звёзд.

Превращение водорода в гелий внутри звёзд происходит при двух циклах реакций: протон-протонном и углеродном.

Основная ветвь протон-протонного цикла (который называют также водородным) состоит из трёх реакций:

1)

¹𝙷+¹𝙷

→

²𝙷+e⁺+ν (0,42 МэВ),

2)

¹𝙷+²𝙷

→

³𝙷𝚎+γ,

3)

³𝙷𝚎+³𝙷𝚎

→

⁴𝙷𝚎+¹𝙷+¹𝙷.

Мы видим, что сначала при встрече двух протонов образуются дейтрон (ядро тяжёлого водорода), позитрон и нейтрино. Позитрон сразу же соединяется с каким-либо электроном и вместе с ним исчезает, испуская два γ-кванта. Нейтрино беспрепятственно выходит из звезды, унося с собой некоторую часть выделившейся энергии. Затем образовавшийся дейтрон соединяется с каким-нибудь протоном, в результате чего возникает ядро ³𝙷𝚎 и излучается γ-квант. Наконец, при столкновении двух частиц ³𝙷𝚎 образуются ядро гелия ⁴𝙷𝚎 (α-частица) и два протона.

Как показывают оценки, из всех ядер гелия, возникающих в водородном цикле, примерно 80% приходится на его основную ветвь. Остальные же 20% дают две боковые ветви, в которых сначала вместо последней из указанных выше реакций происходит реакция с образованием бериллия

³𝙷𝚎+⁴𝙷𝚎

→

⁷𝙱𝚎+γ

Затем в первой боковой ветви (сильно преобладающей над второй) идут реакции

⁷𝙱𝚎+e⁻

→

⁷𝙻𝚒+ν

(𝐸

_ν

=0,86 МэВ),

⁷𝙻𝚒+¹𝙷

→

⁴𝙷𝚎+⁴𝙷𝚎,

а во второй ветви

⁷𝙱𝚎+¹𝙷

→

⁸𝙱+γ,

⁸𝙱

→

⁸𝙱𝚎+e⁺+ν

(𝐸

_max

=14 МэВ),

⁸𝙱𝚎

→

⁴𝙷𝚎+⁴𝙷𝚎.

Углеродный цикл (называемый также «циклом Бете») состоит из шести реакций:

1)

¹²𝙲+¹𝙷

→

¹³𝙽+γ,

2)

¹³𝙽

→

¹³𝙲+e⁺+ν

(𝐸

_max

=1,2 МэВ),

3)

¹³𝙲+¹𝙷

→

¹⁴𝙽+γ,

4)

¹⁴𝙽+¹𝙷

→

¹⁵𝙾+γ,

5)

¹⁵𝙾

→

¹⁵𝙽+e⁺+ν

(𝐸

_max

=1,7 МэВ),

6)

¹⁵𝙽+¹𝙷

→

¹²𝙲+⁴𝙷𝚎.

В этом цикле углерод выступает как катализатор.

Для всех приведённых выше реакций, связанных с испусканием нейтрино, в скобках указана уносимая им энергия. При этом под 𝐸_ν понимается дискретная энергия, а под 𝐸_max — максимальное значение энергии в случае непрерывного энергетического спектра нейтрино.

Количество энергии, выделяющейся при образовании одного ядра гелия в водородном цикле, составляет 4,2⋅10⁻⁵ эрг, а в углеродном — 4,0⋅10⁻⁵ эрг. Некоторое различие между этими цифрами объясняется тем, что энергия, уносимая нейтрино, во втором цикле больше, чем в первом.

Для определения количества энергии, вырабатываемой одним граммом вещества за одну секунду (эта величина была выше обозначена через ε), необходимо знать эффективные поперечные сечения для ядерных реакций. При теоретическом определении этих сечений принимается во внимание, что ядерные силы сцепления действуют лишь на расстояниях, не превышающих по порядку 10⁻¹² см, а на больших расстояниях ядра отталкиваются согласно закону Кулона. Если встречаются ядра с зарядами 𝑍₁𝑒 и 𝑍₂𝑒, то при расстоянии 𝑟 между ними энергия отталкивания равна 𝑍₁𝑍₂𝑒²/𝑟 а их средняя кинетическая энергия равна 3𝑘𝑇. Поэтому для преодоления кулоновского барьера (при 𝑟≈10⁻¹² см) большинством ядер необходима температура порядка 𝑇≈5⋅10⁸𝑍₁𝑍₂. Поскольку такая температура слишком высока даже для звёздных недр, то в действительности преодоление кулоновского барьера ядрами осуществляется вследствие «туннельного эффекта», т.е. благодаря определённой вероятности прохождения потенциального барьера частицей с энергией, меньшей величины этого барьера.

Поперечные сечения для ядерных реакций определялись теоретически и экспериментально (см., например, [5] и [6]). В результате было получено, что для протон-протонного цикла

ε

=

2,5⋅10⁶

ρ𝑋²

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞²/₃

⎟

⎠

exp

⎡

⎢

⎣

-33,8

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞¹/₃

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(36.42)

а для углеродного цикла

ε

=

9,5⋅10²⁸

ρ𝑋𝑋

_𝙲𝙽

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞²/₃

⎟

⎠

×

×

exp

⎡

⎢

⎣

-152,3

⎛

⎜

⎝

10⁶

𝑇

⎞¹/₃

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(36.43)

Здесь 𝑋 — весовая доля водорода, 𝑋_𝙲𝙽 — весовая доля углерода и азота.

Формулы (36.42) и (36.43) можно переписать в более простом виде для определённых интервалов температур. Например, для температур от 3⋅10⁶ до 2⋅10⁷ кельвинов вместо (36.42) имеем

ε

=

9⋅10⁻³⁰

ρ𝑋²𝑇⁴

,

(36.44)

а для температур, близких к 2⋅10⁷ кельвинов, вместо (36.43) получаем

ε

=

3⋅10⁻¹⁵⁰

ρ𝑋𝑋

_𝙲𝙽

𝑇²¹

.

(36.45)

Выражения типа (36.44) и (36.45) применяются при приближённых расчётах.

Из приведённых формул видно, что величина ε для углеродного цикла растёт с температурой быстрее, чем для протон-протонного цикла. При температурах около 15—20 млн. кельвинов обе формулы для ε дают приблизительно одинаковые результаты. При меньших температурах основную роль в выработке энергии играет протон-протонный цикл, при бо́льших — углеродный цикл.