Квантовая механика и интегралы по траекториям

Выражение для E''' можно вычислить из суммы по N которая в соответствии с правилами матричного умножения даёт выражение (p^2₁+p^2₂)_MM. После интегрирования по всем направлениям вектора k отсюда получается член ³/₂(p·p)_MM и, следовательно,

E''

=-

(p·p)_MM

2m

8e^2

3mc^2

d^3k

(2)^3k^2

.

(9.77)

Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии p^2/2m₀ следовало бы заменить выражением

p^2

2m

p^2

2m₀

1-

m

m₀

,

(9.78)

а член E''' как раз должен соответствовать добавке -(p^2/2m₀)m. Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шрёдингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение p^2/2m с экспериментально наблюдаемой массой m. Поправка E''' однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии ¹). Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний 2s и 2p эти поправки выпадают, так как значения E''' и E_c одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения E'', поскольку для состояний 2s и 2p матричный элемент (p^2/2m)_MM один и тот же.

¹) Значение m которое следует из формулы (9.77), равно (8e^2/3c^2)d^3k/k^2 и не совпадает со значением m из выражения E/c^2, соответствующего неподвижному электрону. Это происходит потому, что мы ограничиваемся нерелятивистским приближением. Если провести полностью релятивистское рассмотрение, то оба способа вычисления дают одно и то же значение m.

При вычислении поправки E' предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от k, и, вычислив интеграл

d^3k

k^2

1

E_M-E_N-hkc

=

4

hc

ln

hk_максc

E_M-E_N

,

(9.79)

мы получим

E'

=

e^2

m^2hc^3

 

^M

ln

hk_максc

E_M-E_N

(E

_M

-E

_N

)

2

3

|p

_NM

|^2

.

(9.80)

Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, по которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остаётся лишь вопрос о выборе значения hk_максc. Бете обосновал свой выбор этого параметра тем, что нерелятивистское приближение становится несправедливым в области больших значений k, и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение hk_максc оказалось бы, по-видимому, порядка mc^2. Выбор значения hk_максc=mc^2 дал для сдвига 2s _1/2 - и 2p _1/2 -уровней величину, равную приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути.

Оставалось ещё сделать релятивистский расчёт, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины k_макс. Однако это оказалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистски-инвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании на стр. 280.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал , как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариантность на протяжении всего расчёта и одновременно идентифицировать все бесконечные члены. Другой метод, разработанный Фейнманом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее.

Полный эффект от действия электромагнитного поля, которой на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом I+S_c в функции действия. Релятивистская инвариантность функции I, представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные k и t, а не R и t или k и . Выразим функцию I, используя в качестве переменных частоту и волновое число k. Для этого прежде всего заметим, что интеграл

^-

e

^-ikc||

e

^-i

d

=

2ikc

^2-k^2c^2+i

,

(9.81)

или

e

^-ik|t-s|c

=

2ikc d/2

^2-k^2c^2+i

.

(9.82)

Если определить

j(k,)

=

j

_k

(t)

e

^+it

dt

=

j(R,t)

e

^-i(k·R-t)

d^3R

dt

,

(9.83)

то функция I запишется в виде

I

=

-2

|j₁(k,)|^2+|j₂(k,)|^2

^2-k^2c^2+i

d^3k d

(2)⁴

.

(9.84)

Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных и k вполне очевидна, так как выражение ^2-k^2c^2 — инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично.

Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа c^2^2-j·j, так как величины c и j образуют четырёхмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим

(k,)

=

_k

(t)

e

^+it

dt

=

(R,t)

e

^-i(k·R-t)

d^3R

dt

;

(9.85)