Квантовая механика и интегралы по траекториям

Это выражение такого же типа, как и выражение (9.63), за исключением того, что переход осциллятора совершается между состояниями n=0 и n=1, тогда как ранее конечное состояние считалось также вакуумным. В § 9 гл. 8 мы рассмотрели поведение гармонического осциллятора под действием внешней силы; теперь воспользуемся этим результатом и запишем

X

'

1k

=

2h

Lc

1/2

j

_1L

e

^iLct

dt

X

1k

,

(9.94)

где X_1k — вычислявшееся выше выражение для перехода из вакуумного в вакуумное состояние. Мы видим, что появление одного фотона в конечном состоянии выражается в появлении множителя

2h

Lc

1/2

j

_1L

e

^iLc

dt

Поэтому для амплитуды вероятности мы можем записать

Амплитуда

=

2h

Lc

1/2

exp

i

h

(S

_част

+I)

j

_1L

exp(iLct)

dt

Dq

.

(9.95)

Аналогичное выражение, которое мы ранее получили с помощью теории возмущений, эквивалентно матричному элементу перехода

2h

Lc

1/2

exp

i

h

S

_част

j

_1L

exp(iLct)

dt

Dq

.

(9.96)

Очевидно, что полученный результат точно совпадает с результатом теории возмущений, если при вычислении амплитуды перехода вместо действия S'_част применить полное эффективное действие S'_част=S_част+I.

Выше было показано, что введение действия I приводит к небольшому изменению энергетических уровней; формально значения энергий становятся в этом случае комплексными. Последнее означает, что излучению соответствует спектральная линия некоторой конечной ширины, называемой естественной шириной линии. Не будем углубляться далее в детали всех этих вычислений и оставим их обсуждение, как и обобщение на большее число поглощаемых и излучаемых фотонов, тем, кто захочет более детально изучить эти специальные вопросы квантовой электродинамики.

§ 8. Краткие выводы

Обозрение подхода в целом. В этой главе мы довольно много занимались исследованием квантованного электромагнитного поля. Стоит потратить некоторое время и вернуться назад, чтобы подчеркнуть основные идеи и полученные результаты.

Выделение кулоновского взаимодействия и применение бегущих волн для наших целей являются лишь техническими приёмами; наиболее значительный результат содержится в выражении (9.89) или в эквивалентном ему (9.91). Рассмотрим этот результат с более общей точки зрения, приняв за основу выражение (9.91). Допустим, что наша система может быть описана с помощью действия

S

=

S

₁

(q)

+

S

₂

(q,A,)

+

S

₃

(A,)

,

(9.97)

где член S₁(q) относится к веществу, член S₂ — к взаимодействию вещества и поля, а член S₃ — лишь к полю. Символом q обозначены здесь координаты материальных тел, а поле описывается координатами A и . Тогда амплитуда вероятности какого-либо события получается в результате вычисления интеграла типа

K

=

exp

i

h

[

S

₁

(q)

+

S

₂

(q,A,)

+

S

₃

(A,)

]

Dq

DA

D

,

(9.98)

причём вопрос о граничных условиях задачи остаётся открытым.

Будем далее предполагать, что в начальном и конечном состояниях поля фотоны отсутствуют (т.е. поле переходит из вакуумного состояния снова в вакуумное). Такой выбор граничных условий мы сокращённо обозначим как вак-вак. Затем мы всегда будем интегрировать сначала по переменной q, а лишь после этого по A и . То, что мы делали до сих пор, соответствовало обратному порядку интегрирования: сначала по A и , а в качестве заключительного шага по q.

Обычно действие S₂(q,A,) линейно зависит от переменных поля A и и может быть записано в виде

S

₂

=

[

(R,t)

(R,t)

-

j(R,t)

·

A(R,t)

]

d^3R

dt

,

(9.99)

где и j — соответственно плотности заряда и тока, зависящие только от q. Тогда интеграл по A и в формуле (9.98) гауссов и легко вычисляется.

Основной смысл соотношения (9.91) заключается в том, что оно даёт нам значение этого интеграла, а именно

_вак

^вак

exp

i

h

S

₃

(A,)

+

(-j·A)

d^3R

dt

x

x

DA

D

=

exp

i

h

J

,

(9.100)

где действие J, которое в формуле (9.91) мы обозначали как I+S_c, равно

J

=

i

[c^2

(R

₁

,t

₁

)

(R

₂

,t

₂

)

-

j(R

₁

,t

₁

)

·

j(R

₂

,t

₂

)

]

₊

[

(t

₁

-t

₂

)^2

c^2

-

-

|R

₁

-R

₂

|^2

]

d^3R

₁

d^3R

₂

dt

₁

dt

₂

(9.101)

для любых функций и j, зависящих от R и t. В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).

Функции и j, которые входят в соотношение (9.98), зависят от q и q; поэтому мы получаем результат в виде

K

_{(вак-вак)}

=

exp

i

h

[S

₁

(q)+J(q)]

Dq

,

(9.102)

где функционал J(q) определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения и j. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала J(q). Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.