Квантовая механика и интегралы по траекториям

Общая формулировка квантовой электродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по q, то множитель exp[(i/h)S₃] можно опустить, так как он не зависит от q. Вводя обозначение

T[A,]

=

exp

i

h

[

S

₁

(q)

+

S

₂

(q,A,)

]

Dq

,

(9.103)

мы можем (9.98) переписать в следующем виде:

K

=

exp

i

h

S

₃

(A,)

T[A,]

DA

D

.

(9.104)

Это выражение описывает амплитуду вероятности определённого движения частицы, причём поле также совершает определённый переход из одного состояния в другое. Как и все другие амплитуды вероятности, эта амплитуда представляет собой сумму по всем возможным альтернативам. Каждая отдельная альтернатива выражается произведением амплитуды T[A,], относящейся к движению частицы в некотором поле с определёнными потенциалами A и , и амплитуды вероятности exp(iS₃/h) того, что значения потенциалов поля именно таковы; суммирование производится по всем возможным полям A и .

Этот закон, выраженный математически соотношением (9.104), является фундаментальным принципом всей квантовой электродинамики. Его формулировка остаётся в силе даже тогда, когда функционал T[A,], т.е. амплитуду движения частицы во внешнем поле (A,), нельзя представить в виде интеграла по траекториям. Так, например, для релятивистской частицы со спином, описываемой уравнением Дирака, этот функционал нельзя выразить в виде простого интеграла по траекториям с какой-либо разумной функцией действия. Однако выражение для функционала T[A,] можно получить и с помощью других методов, например из уравнения Дирака, а затем найти амплитуду K из соотношения (9.104).

Формулируя основной закон квантовой электродинамики (9.104), мы рассматривали поведение электромагнитного поля отдельно от поведения частицы (или системы частиц), с которой это поле взаимодействует. Сам факт, что такое разделение может быть проделано, является весьма важным результатом. Например, функционал T[A,] может быть связан с поведением атомного ядра, свойства которого известны неполностью. Однако для квантового решения электродинамических задач нам вполне достаточно знать лишь поведение этого ядра в известном внешнем поле.

Разумеется, для непосредственного применения формулы (9.104) необходимо знать функционал T при всех значениях переменных A и ; к сожалению, такая подробная информация редко имеется в нашем распоряжении. Но и тогда, когда мы располагаем точным выражением для функционала, само вычисление интеграла по траекториям может вызвать трудности. Все же практически эта формула очень полезна. В некоторых случаях функционал T может быть аппроксимирован экспонентой типа (9.99) с линейной зависимостью показателя от переменных A и . Тогда интересующий нас результат следует непосредственно из общих выражений (9.100) и (9.101). Чаще функционал T можно представить в виде суммы или интеграла экспонент, зависящих от различных величин и j; тогда формула (9.104) приобретает вид соответствующей суммы или интеграла от выражений, содержащих экспоненту exp [(i/h)J], где J определяется соотношением (9.101) после подстановки надлежащих значений и j.

В большинстве практически важных случаев функционал T можно представить в виде степенного ряда по потенциалам A и . Если считать влияние поля на движение частицы достаточно малым, то несколько первых членов этого разложения могут быть вычислены методами теории возмущений. Найдя таким образом функционал, подставим его в (9.104) и проинтегрируем по A и ; в результате получится разложение амплитуды K по возмущениям (по степеням параметра e^2/hc). Необходимые для этого интегралы вида

A

_i

(R

₁

,t

₁

)

A

_j

(R

₂

,t

₂

)

exp

i

h

S

₃

(A,)

DA

D

=

=

2h

₊

[

(t

₁

-t

₂

)^2

c^2

-

|R

₁

-R

₂

|^2

]

можно вычислить, разлагая по степеням и j выражения (9.100) и (9.101), а затем сравнивая соответствующие члены. Мы не будем углубляться в эти вопросы квантовой электродинамики и отсылаем интересующегося читателя к работе [7].

Глава 10

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В предыдущих главах мы рассмотрели переходы системы из одного известного состояния в другое. Однако для большинства реальных физических ситуаций начальное состояние полностью не определено: система может с некоторой вероятностью пребывать в различных таких состояниях. Тогда и конечное состояние является в такой же степени неопределённым, поскольку набору исходных ситуаций отвечает набор возможных результатов процесса с соответствующими вероятностями. С другой стороны, нас может интересовать не вероятность определённого результата, а распределение вероятностей целого набора таких результатов.