Квантовая механика и интегралы по траекториям

тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде

S

_c

=

|(k,)|^2

k^2

d

=

(/k)^2-^2c^2

^2-k^2c^2

d

,

(9.86)

причём последний интеграл образуется здесь умножением числителя и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на ^2/k^2-c^2. Закон сохранения тока

-

-

t

=

·j

(9.87)

запишется теперь как

(k,)

=

k·j(k,)

.

(9.88)

С другой стороны, если обозначить через j₃ компоненту вектора j в направлении k, то j₃=/k и

I+S

_c

=

-2

x

x

|j₁(k,)|^2+|j₂(k,)|^2+|j₃(k,)|^2-c^2|(k,)|^2

^2-k^2c^2+i

x

x

d^3k d

(2)⁴

.

(9.89)

Сумма трёх токовых членов представляет собой не что иное, как скалярное произведение j(k,)·j(k,); поэтому выражение (9.89) — скаляр и его релятивистская инвариантность очевидна.

Учитывая неполноту наших сегодняшних представлений о квантовых законах взаимодействия, предположим, что расходящиеся интегралы можно регуляризировать простым введением в подынтегральное выражение релятивистски-инвариантного множителя

^2

^2-k^2c^2-^2+i

^2

где величина — некоторая достаточно большая частота. При малых значениях величин и k этот множитель близок к единице, в то время как для высоких частот он обрезает подынтегральную функцию. Очевидно, что такая операция не нарушает релятивистской инвариантности интеграла. Теперь все физические величины должны вычисляться нами с учётом того, что действие I+S_c содержит этот обрезающий множитель. Если, подобно лэмбовскому сдвигу они будут нечувствительны к выбору конкретного значения (лишь бы это значение было достаточно велико), то теоретический результат можно считать достоверным. Если же результат расчёта существенно зависит от выбора (как это имеет место, например, для разности масс нейтрального и заряженного пионов), то его количественную величину установить невозможно, поскольку обрезающая функция произвольна, а сам приём с её введением уже нельзя считать удовлетворительным.

Таково состояние квантовой электродинамики на сегодняшний день.

Задача 9.11. Покажите, что метод обрезающей функции действительно не является вполне удовлетворительным теоретически. Для этого покажите, что величина , вычислявшаяся в § 4 гл. 9, изменяется после введения обрезания, тогда как вероятность излучения реального фотона не должна изменяться (для него =kc и функция обрезайия точно равна единице). Таким образом, нарушился бы баланс вероятностей и сумма их по всем возможным событиям (фотон излучился или не излучился) стала бы отличной от единицы.

Трудность, возникающая в связи с этой проблемой, до сих пор остаётся неразрешённой. Нам пока не известно никакой модификации квантовой электродинамики в области высоких частот, которая одновременно сделала бы все результаты конечными, не нарушала бы релятивистской инвариантности и сохраняла значение суммы вероятностей всех альтернатив равным единице.

Задача 9.12. Используя соотношение

e

^i(k·R-t)

cd^3k d/(2)⁴

(2)⁴(^2-k^2c^2+i)

=

i

(t^2c^2-R^2+i)(2)^2

=

=

1

4

₊

(t^2c^2-R^2)

.

(9.90)

перейдите в функции действия I+S_c к пространственным координатам. [Замечание: функцию -i(x-i) часто записывают как ₊(x) мы тоже пользуемся этим обозначением.] В результате должно получиться

I+S

_c

=

1

2c

[c^2

(R

₁

,t

₁

)

(R

₂

,t

₂

)

-

j(R

₁

,t

₁

)

j(R

₂

,t

₂

)

]x

x

₊

[

(t

₁

-t

₂

)^2

c^2

-

|R

₁

-R

₂

|^2

]

d^3R

₁

d^3R

₂

dt

₁

dt

₂

.

(9.91)

§ 7. Излучение света

В § 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от её взаимодействия с электромагнитным полем; это выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состояния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие S_част в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие S'_част=S_част+I.

В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом hL и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчёты, касается интеграла для действия S, т.е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением

X'

=

k

exp

i

h

(S

_част

+S

_поле

)

Da

₁

k

Da

₂

k

,

(9.92)

где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора 1L, переходит из начального состояния n=0 в такое же конечное состояние; поэтому интеграл X₁k для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора 1L, который теперь становится равным

X

'

1k

=

exp

i

h

4

(

j

*

1L

a

_1L

+

j

_1L

a

*

1L

)+

+

a

*

1L

a

1L

-

k^2c^2

a

*

1L

a

1L

-

hLc

2

dt

Da

_1L

(9.93)