Квантовый возраст

Короля математики с юных лет и на протяжении всей его долгой жизни, на протяжении всего его «умственного подвига» не покидала мысль о проблеме, связанной с пятым постулатом Евклида. Сегодняшнюю геометрию, геометрию, которую мы учим в школе, Евклид построил на основе сформулированных им пяти постулатов. Первый из постулатов, например, требует, чтобы «от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию». Остальные три сформулированы так же просто, и очевидность их не вызывает сомнений. Пятый же постулат скорее напоминает теорему, смысл которой сводится к тому, что две параллельные прямые никогда не должны пересекаться, или, как следствие, что сумма внутренних углов треугольника должна равняться 180°. Сам Евклид, очевидно, сформулировал пятый постулат сначала в виде теоремы, и только тщетные попытки доказать ее вынудили Евклида назвать эту теорему пятым постулатом.

Так никому и не удалось доказать пятый постулат Евклида.

А что, если отказаться от него вовсе, допустить, что сумма углов треугольника меньше чем 180° или же больше?

Представим себе сферу или просто глобус и нарисуем на нем треугольник с вершинами, скажем, на полюсе, на островах Сан-Томе в Гвинейском заливе (нулевой меридиан) и на островах Галапагос в Тихом океане, через которые проходит меридиан 90° к востоку от Гринвича. Итак, мы получили треугольник, все стороны которого образуют между собой углы в 90°, и сумма углов этого треугольника равна 270°! Сфера обладает положительной кривизной. А если взять поверхность отрицательной кривизны, которую трудно представить наглядно (частично ее может заменить поверхность старинных песочных часов), то сумма углов треугольника на такой поверхности будет меньше чем 180°, причем тем меньше, чем более искривлена поверхность. А что если весь наш мир обладает кривизной? Тогда неверен пятый постулат Евклида, справедливый только для плоского пространства. И нужно построить геометрию, свободную от этого ограничения, годную для искривленного пространства.

Теперь, когда она построена, когда создана теория относительности и мы знаем глубокую связь между искривлением пространства и силами тяготения, нам это кажется очевидным. А тогда, полтора столетия назад, все было гораздо сложнее.

Первым в это дело включился серьезно, но не в разворот своей мощности Карл Фридрих Гаусс. Эти исследования влекли его всю жизнь и не давали покоя. Гаусс вплотную подошел к созданию новой геометрии, но за всю свою жизнь не решился опубликовать результаты так сильно увлекших его исследований. Мир узнал об этом только спустя пять лет после смерти Гаусса, когда был снят обет молчания с его друзей и стали публиковаться его письма.

«Допущение, что сумма трех углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, полностью отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя абсолютно удовлетворительно: я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной, значение которой a priori установлено быть не может. Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными, но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного… но во всяком случае Вы должны смотреть на это, как на частное сообщение, которое отнюдь не должно быть опубликовано» [26, с. 187].

Письмо Гаусса, из которого взят этот маленький отрывок, адресовано Тауринусу и фактически содержит (оно было написано в 1824 г.) легкий набросок неевклидовой геометрии. В 1829 г. все о том же Гаусс писал Бесселю: «Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком» [Там же, с. 200].

Гаусс боится? Карл Фридрих Гаусс — король математики, чье слово закон, боится сказать вслух о научной истине, в которой он давно себе признался? Но факт остается фактом: Гаусс не только не хотел публиковать результаты своих исследований, но еще и заклинал своих друзей держать в строгой тайне его соображения о новой геометрии.