Лейбниц. Анализ бесконечно малых

Для греков кривые могли быть плоскими (их можно получить только с помощью линейки и циркуля), коническими (они получаются при сечении конуса) или линейными (не входят в предыдущие группы, для их построения нужен какой-нибудь механический метод). Декарт, говоривший, что использование линейки и циркуля — это также способ построения кривых, назвал геометрическими кривыми те, уравнение которых является полиномиальной функцией вида f (х, у) = 0, то есть многочленом для х и у. Например, это окружность, центр которой — точка О (a, b), а радиус г соответствует уравнению (х - a)² + (y - b)² = r² (рисунок 1). Остальные кривые Декарт назвал механическими. Это спирали, показательные и логарифмические функции или цепная линия, то есть кривая, форму которой принимает веревка, закрепленная с двух сторон, например кабели между двумя опорами линии электропередач. Без сомнения, главной механической кривой того времени была циклоида: кривая, описываемая точкой окружности, которая катится по полу, не проскальзывая (рисунок 2). Представим себе колесо велосипеда с приклеенной к шине жевательной резинкой: кривая, которую будет описывать резинка, когда мы приведем велосипед в движение, — это циклоида.

РИС. 1 Геометрическая кривая.

РИС. 2 Циклоида

Свое название циклоида получила благодаря Галилею. Робервалю удалось найти квадратуру сегмента циклоиды, и хотя он пытался выявить способ построения касательной, это получилось сделать только у Ферма. Паскаль поставил перед научным миром задачу нахождения площади любого сегмента циклоиды и центра его тяжести. Из всех откликнувшихся он наиболее высоко оценил работу Кристофера Рена. В свою очередь Гюйгенс сформулировал задачу построения кривой, имеющей минимум, или нижнюю точку, причем если уронить шарик, который катится без учета силы трения по этой кривой вследствие тяготения, он потратит одно и то же время, чтобы достичь нижней точки, независимо оттого, из какой точки кривой он начнет движение. Эту кривую Гюйгенс назвал таутохронной. Паскаль доказал, что решением данной задачи является обратная циклоида. Лейбниц переименовал кривые, назвав их вместо геометрических алгебраическими и поменяв название механических на трансцендентные. Эта терминология все еще используется сегодня.

Так, Роберваль считал, что на движущуюся точку влияют две силы, горизонтальная и вертикальная. Диагональ прямоугольника, образованного обеими прямыми, дает направление касательной (см. рисунок).

Направление касательной по Робервалю.