Личность и Абсолют

b) И для чего понадобилась такая теория? Если Кронекер хочет показать исходный пункт всякого рассуждения о числе, то и без всяких доказательств ясно, что основой всей математики является простой счет, т. е. система натурального ряда (почему мы и называем этот последний бытием непосредственной сущности числа). Не умея считать, нельзя вообще высказать никакого суждения о числе. Если Кронекер хотел дать более строгую и более экономную систему обозначений, то всякому ясно, что употребление плюсов, минусов, знаков дроби, показателей, радикалов и т. д. несравненно экономнее тяжелых обозначений через функциональные сравнения. Эти последние, кроме того, имеют гораздо более широкое значение, которое совершенно излишне для простых категорий отрицательности, дробности и пр. Наконец, если упор на натуральные числа имел целью не просто указать исходный пункт самого понятия и не просто дать другое обозначение для того же самого предмета, а имел целью сделать ненужным самые понятия дробности, иррациональности и т. д., то это можно квалифицировать только как нелепость, изобличающую себя при первом же своем проявлении. Упование на то, что все числа можно «свести» на целые числа, вредно еще и тем, что оно до известной степени преграждает анализ тех категорий, которые заложены в основе разных типов числа, понимаемых как специфические индивидуальности. Тут надо уметь не столько «сводить» одно на другое, сколько «выводить» одно из другого.

3. Несколько иначе смотрит на дело К. Вейерштрасс, тоже носившийся с идеей сведения всех чисел на целые числа. Правда, Вейерштрасс в этом смысле рассуждает гораздо сдержаннее. Он вовсе не хочет отменять самые понятия разных видов числа и считает, напр., иррациональность столь же реальной для мысли, что и все другие. Не хочет он также и всякие арифметические действия заменять действиями над целыми числами. Насколько можно понять эту теорию, он просто занят психологическими вопросами о том, как мы приходим к представлению о разных типах числа. Если это действительно так, то уже по одному этому учение Вейерштрасса не должно было бы обсуждаться в нашем сочинении. Но ясно и то, что Вейерштрассу меньше всего хотелось быть тут психологом. Поэтому—скажем несколько слов о Вейерштрассе.

О целом числе Вейерштрасс рассуждает не хитро. Вокруг нас мы находим явления, говорит он, которые обладают общими признаками. В каждой такой группе явлений мы различаем несколько единиц. Отсюда—понятие о целом числе. Взявши два таких числа, мы можем взаимно сопоставить входящие в них единицы. Когда эти элементы друг другу соответствуют, мы говорим, что числа равны:; когда в одном числе остаются лишние элементы, мы говорим, что оно больше другого, а это последнее—меньше. Здесь знаменитый математик говорит, конечно, пустяки: целое число там, говорит он, где оно целое.

О дробном числе—рассуждение несколько сложнее. Кроме «главной единицы», говорит он, существуют и многие другие единицы — двойка, тройка, десятка, сотня, миллион, это тоже некоторого рода единицы. Покамест мы берем числа, составленные из «главной единицы», мы можем иметь только целые числа. Но, вводя другие единицы и сравнивая новые единицы со старыми, мы получаем представление о дробных числах. По этому поводу можно только удивиться, почему нс появляется представление о дробной части, когда мы имеем одну цельную группу нескольких предметов, и почему для этого необходим переход к другой группе или к другим единицам. Кроме того, назвать десятку единицей можно только при том условии, что уже имеется представление о целом и дробном, так что здесь Вейерштрасс утверждает только то, что дробное число возникает тогда, когда оно дробное.

Отрицательное число возникает, по Вейерштрассу, тогда, когда кроме основного элемента е вводится «противоположный» элемент е' удовлетворяющий равенству а+е+е'=а (где а состоит только из элементов e). Отсюда е+е' = 0, и если одну из этих величин назвать положительной, то другая будет отрицательной. Тавтологичность этого определения не нуждается в комментарии.