Личность и Абсолют

Немногим лучше обходится Вейерштрасс с иррациональными числами. Он их сводит на целые числа так. Мы можем, говорит он, брать агрегаты чисел, состоящие из главной единицы и из разных дробных частей единицы. Число этих разных групп чисел может расти до бесконечности. Допустим, что у нас имеется по конечному числу элементов в каждой группе, а самих этих групп—бесконечное количество. Тогда и получится иррациональное число. В самом деле, пусть такими группами у нас будут дробные части единицы—десятые, сотые, тысячные и т. д. Если этих групп у нас будет бесконечное число, но в каждую группу будет входить только конечное число элементов, то это и даст нам иррациональное число. Проще говоря, Вейерштрасс хочет сказать только то, что иррациональное число есть дробь с бесконечным числом десятичных знаков. Если на основании этого он думает, что иррациональность сводится на целое число, то это есть только подмена логического определения письменными знаками, которые его обозначают. Иррациональность, если ее брать как таковую, в чистом виде, ни в каком смысле не сводима на цельность. Можно, конечно, понимать ее как целое, но в таком же точно смысле окажутся целыми и все дроби, все трансцедентные и гиперкомплексные числа, точно так же, как все их можно назвать единицами. Называет же Вейерштрасс единицами двойки, тройки, десятки, половины, трети, сотые части и т. д. Но если это не диалектика (в том смысле, как мы говорили в § 23 о вездеприсутствии одного и того же перво–принципа единичности)—а в диалектике Вейерштрасс нисколько не повинен, — то это просто игра словами.

4. Наконец, слабым достижением надо считать определение типов чисел как пары целых чисел. Это представление, восходящее к Гамильтону, взятое в чистом виде, очень недостаточно вскрывает сущность данного типа числа, являясь обычной математической тавтологией, хотя у самого Гамильтона в связи с его векторными представлениями это имело, несомненно, гораздо более глубокое значение.

В учении о числах как о паре целых чисел указывают обычно условия равенства и неравенства пар и способы действий над ними. Если мы имеем в виду дроби, то пары я, b и я', Ъ' равны здесь между собою только тогда, когда ab = a'b ^'. Не нужно особенно напрягать свои умственные способности, чтобы догадаться, что здесь попросту имеется в виду равенство в пропорции произведения крайних и средних. Другими словами, здесь только по другому правописанию записана та святейшая истина, что дроби равны, когда равны отношения их числителей и знаменателей. Но никакое новое правописание, конечно, не создаст логического определения, если оно не получено из другого источника.

Точно таким же характером обладает «условие равенства пар» для отрицательного числа. Тут пары а, b и а', b' будут равны при условии a+b' — а' + b. То же самое в комплексных числах и пр. Везде тут— словесный оборот вместо логического построения.

5. В традиционном математическом учении о типах числа поражает отсутствие всякой систематики и методологии. Обычно, желая перечислить решительно все типы числа, говорят, что каждое действие имеет для себя обратное действие, и когда это последнее прямо невыполнимо, то «условились» — де (как будто бы можно было не условиться?) ввести новые понятия—отрицательного, иррационального и мнимого числа. Этим и кончается вся «система». Что единица, нуль и бесконечность есть совсем особые числа, со своим особым влиянием на все прочие числа, об этом в данной «системе» не говорится ни слова, хотя своеобразие этих чисел бьет в глаза на каждом шагу. Всякому ясно, что это не просто разные числа, но разные типы числа, разные категории числа. Почему же о них нет ни слова в указанной «системе»?