Личность и Абсолют

Отметим и то обстоятельство, что на приведенной таблице Кэли яснейшим образом видна сущность перво–принципа. Ведь всякий первопринцип (как это мы хорошо знаем, и прежде всего из § 23) присутствует в соответствующей ему сфере бытия совершенно одинаково и самотождественно, являясь в то же время и принципом всякого различия. В нашей таблице в каждом элементе группы одинаково и целиком присутствует идея определенного рода композиции двух элементов. Элементы везде тут разные, да и результат композиции везде разный. Но самая композиция формально везде одна и та же, и ее результат в этом смысле везде один и тот же.

c) Пойдем дальше. За становлением идет ставшее, наличное бытие. Наша композиция и все ее результаты пусть застынут в некоей твердой данности. Чем определяется эта твердая данность? В каком виде все элементы будут утверждены в качестве факта? Когда мы в § 65 переходили в область арифметических операций от становления к ставшему, мы столкнулись с т. н. законом счета. Как ведут себя элементы группы в этом смысле и применим ли к понятию группы этот способ рассуждения вообще?

Не без удивления мы находим в определениях понятия группы точные указания на эти законы. А именно, 1) утверждается, что композиция группы обязательно обладает ассоциативным законом, т. е. что (Φτ) и= φ(τυ), и что, стало быть, выражение φτυ имеет также вполне определенный, единственный смысл, что и φτ. С другой стороны, коммутативный закон совсем не обладает такой обязательностью, так что, вообще говоря, φτ ≠ τφ и все группы делятся на коммутативные (Абелевы) и некоммутативные.

d) Но в особенности ярко торжествует свою победу наша пятиступенная диалектика, когда мы задаемся вопросом о том, где же завершительный, выразительный момент определения понятия группы и как на своем языке выражают его математики. Его можно выразить более общо и менее общо. Для первого случая вспомним, какую форму принимало у нас выражение в применении к действиям. Арифметическая операция превращается тут в целый комплекс действий, который в иной комбинации своих направлений оказывается уравнением. Уравнение всегда выразительно, давая метод движения от внешнего неизвестного к известному внутреннему или от внешнего известного к внутреннему неизвестному. Если к элементам; группы применим принцип уравнений, т. е. если уравнения с неизвестными в качестве элементов группы обязательно разрешимы, то возможность этих уравнений и обеспечит нам искомую выразительность определения понятия группы. Действительно, если принять во внимание возможную некоммутативность, то, оказывается, для каждой группы уравнения

φχ=τ

yφ=τ

обязательно разрешимы если, конечно, φ не равно нулю), и притом однозначно разрешимы. Это звучит, однако, довольно отвлеченно, и мы можем употребить тут гораздо более конкретные выражения.

А именно, из предыдущих уравнений вытекает, что необходим и случай φχ=φ, т. е. необходимо, чтобы если φ не равно единице, то оно в иных случаях и равнялось единице. Точно так же уравнение φχ = τ разрешимо только тогда, когда возможен и случай φχ=1, т. е. когда имеется некое φ такое, что φ · φ ^–1= 1. Это сразу накладывает резкий отпечаток на понятие группы; и в руководствах по теории групп в качестве обязательных моментов определения содержатся еще и такие два: в системе, именуемой «группа», существует элемент–единица, т. е. такой элемент ε, что для любого φ системы имеется φε = εφ = φ; и для любого элемента φ системы существует в системе обратный элемент, такой, что φ φ» ¹= 1.

Кажется, нефилософ и недиалектик не может и прикоснуться к пониманию подлинного категориального значения для двух обязательных элементов каждой группы, элемента–единицы и обратного элемента. Кажется, еще никому из математиков не пришло в голову понимать эти элементы как выразительные формы логического определения понятия группы. А между тем совершенно неясно, зачем говорится об этих элементах уже в определении группы. Если математики вводят их в определение, то вовсе не потому, что они имеют потребность в логической системе, и вовсе не потому, что понимают весь логически–завершительный смысл этих двух элементов в понятии группы, но исключительно только потому, что в иных группах, а в особенности в геометрических (напр., в группе вращений), эти элементы обладают неотразимой очевидностью, и бьющей в глаза очевидностью, так что, давая после этого общее определение группы, уже никак нельзя обойти упоминания об элементе–единице и обратном элементе. Таким образом, если математики и вводят это упоминание в самое определение группы, то исключительно в результате ползучего эмпиризма, но никак не в результате диалектической ясности самого понятия группы. Тем более нужно быть благодарным исследователям, впервые захотевшим представить это понятие во всей его кристально–философской ясности.