Людвиг Больцман: Жизнь гения физики и трагедия творца

Другим следствием теории явился полученный Больцманом вывод о том, что в вертикальном столбе газа температура не изменяется с высотой. Этот результат вызвал возражения со стороны учителя и друга Больцмана Й. Лошмидта, который увидел в этом дополнительный аргумент в пользу «тепловой смерти» Вселенной. Рассуждения Лошмидта были довольно просты — если температура в вертикальном столбе не изменяется, то в масштабе Вселенной это и будет означать признание ее «тепловой смерти». Не признавая этой теории, Лошмидт утверждал, что температура в столбе не может быть постоянной, а второе начало термодинамики во Вселенной должно нарушаться. В результате острой, но дружеской дискуссии, направленной на глубокий анализ основ теории, Больцман доказал ошибочность утверждений своего оппонента.

Однако до полного признания распределения Максвелла, теперь уже распределения Максвелла — Больцмана, было еще далеко. Напомним, что вывод Максвелла был далеко не строгим. В таких случаях всегда возникают вопросы: «Единственно ли найденное распределение?» или «Не будет ли получен в результате более строгого вывода иной результат?» Конечно, можно было бы попытаться проверить найденное соотношение в эксперименте, но техника того времени еще не позволяла надеяться на подобную проверку.

Первую попытку доказательства единственности распределения выполнил сам Максвелл. Интересен ход его рассуждений. Если газ находится в состоянии термодинамического равновесия, то в нем установилось не меняющееся со временем — стационарное — распределение частиц по скоростям. Если v и v’ — скорости частиц до и после столкновения, то на первый взгляд возрастание числа частиц со скоростями v’ должно точно следовать за уменьшением числа частиц со скоростями v. Однако следует учитывать и то, что после столкновения частицы могут иметь и другую скорость. Процесс изменения скоростей, полагал Максвелл, будет продолжаться до тех пор, пока ряд скоростей v, v’, v”,… снова не придет к скорости v. Обмен между частицами, имеющими различные скорости из этого ряда, приводит к тому, что число частиц, имеющих данную скорость, сохраняется постоянным, а из этого следует, что полученное распределение будет единственным.

Эти рассуждения не кажутся Больцману убедительными. В работе «Дальнейшее изучение теплового равновесия молекул газа» (1872) он приводит ряд возражений против доказательства Максвелла и дает строгий вывод распределения. Больцман видит принципиальные погрешности доказательства Максвелла в рассмотрении изменения скорости отдельной частицы, в то время как в процессе столкновений участвуют и одновременно изменяют свои скорости как минимум две молекулы. Стационарное распределение молекул по скоростям, отмечает Больцман, возникает и поддерживается именно в результате таких парных столкновений. Если же соударений нет, то однажды заданное распределение будет сохраняться сколь угодно долго, а значит, допускается возможность любого произвольного распределения. Больцман также не согласен с утверждением Максвелла о том, что ряд скоростей v, v’, v”,…, v имеет одностороннюю направленность, поскольку обратные переходы v,…, v”, v’, v будут происходить так же часто, как и прямые.

Больцман дает строгий и изящный вывод закона распределения. Он рассматривает не переходы между скоростями одной частицы v → v’, v → v”, а такие переходы, когда скорости двух молекул до столкновения v₁ и v₂ заменяется на их скорости после столкновения v₁’ и v₂’. В условиях равновесия прямые переходы v₁,v₂ → v₁’,v₂’ происходят так же часто, как и обратные v₁’,v₂’ → v₁,v₂. Вывод Больцмана, занимающий всего одну страницу, можно встретить без изменений во многих современных учебниках физики.

В статьях 1872 и 1875 гг. Больцман еще более расширяет области применения полученного распределения, применяя его к многокомпонентным газам. Распределение Максвелла — Больцмана получает, таким образом, в этом цикле работ прочное теоретическое обоснование. Только сравнение с экспериментальными данными могло теперь заставить усомниться в справедливости формул. И все же строгий вывод закона распределения оставлял нерешенной проблему доказательства его единственности. Больцман решил и эту проблему, но на принципиально ином пути.

7. Новые идеи

Но дальше, ввысь, к пределам всех дерзаний,
Творящий гений над землей парит,
Созданье возникает из созданий,
Гармония гармонию творит.

Ф. Шиллер