Логике научного исследования

45. Простота евклидовой геометрии

Одним из вопросов, занимающих важное место в большинстве дискуссий о теории относительно-

сти, был вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом никто даже не пытался усомниться в

том, что евклидова геометрия как таковая проще, чем любая неевклидова геометрия с данной посто-

янной кривизной, не говоря уже о неевклидовых геометриях с переменной кривизной.

На первый взгляд кажется, что используемое при таком сравнении понятие простоты не имеет по-

чти ничего общего со степенями фальсифицируемости. Однако если высказывания о простоте раз-

личных геометрий сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обнаружится, что два интересу-

ющих нас понятия — простота и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.

Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам помощь в проверке следующей гипотезы: «В

33

нашем мире необходимо использовать некоторую метрическую геометрию с таким-то и таким-то ра-

диусом кривизны». Эта гипотеза допускает проверку только в том случае, если мы отождествим не-

которые геометрические сущности с определенными физическими объектами, например прямые ли-

нии — со световыми лучами, точки — с пересечением нитей и т.п. Если принять такое отождествле-

ние (то есть ввести некоторое определение, устанавливающее конкретное соотношение, или, возмож-

но, некоторое остенсивное определение — см. раздел 17), то можно показать, что гипотеза о справед-

ливости евклидовой геометрии световых лучей фальсифицируема в большей

133

степени, чем любая другая конкурирующая гипотеза, утверждающая справедливость некоторой

неевклидовой геометрии. Дело в том, что если мы измерим сумму углов светового треугольника, то

любое значительное отклонение от 180 градусов фальсифицирует евклидову гипотезу. В то же время

гипотеза о справедливости геометрии Больяи — Лобачевского с данной кривизной будет совместима

с любым конкретным измерением, результат которого не превосходит 180 градусов. К тому же для

фальсификации второй гипотезы необходимо измерить не только сумму углов, но также и (абсолют-

ный) размер треугольника, а это означает, что в придачу к углам потребовалось бы ввести новую

единицу измерения, такую, например, как единицу площади. Таким образом, мы видим, что для

фальсификации второй гипотезы требуется большее число измерений, что данная гипотеза совмести-

ма с большими отклонениями в результатах измерений и что, следовательно, эту гипотезу труднее

фальсифицировать. Иначе говоря, вторая гипотеза фальсифицируема в меньшей степени. То же самое

можно выразить, сказав, что евклидова геометрия является единственной метрической геометрией с

определенной кривизной, в которой возможны преобразования подобия. Как следствие этого, фигуры

евклидовой геометрии могут быть инвариантными по отношению к большему числу преобразований, то есть они могут иметь меньшую размерность и поэтому быть проще.

46. Конвенционализм и понятие простоты

То, что конвенционалист называет «простотой», не совпадает с моим понятием простоты. Никакая

теория однозначно не детерминируется опытом — вот центральная идея и исходный путь конвенци-

оналиста, и я разделяю эту точку зрения. Исходя из этого, конвенционалист убежден в том, что он

должен выбрать «простейшую теорию». Однако поскольку теории для конвенционалиста не являют-

ся фальсифицируемыми системами, а представляют собой конвенциональные соглашения, то под

«простотой» им, безусловно, подразумевается нечто отличное от степени фальсифицируемости.

Конвенционалистское понятие простоты в действительности оказывается частично эстетическим, частично практическим. Поэтому, когда Шлик говорит о том, «что понятие простоты, очевидно, можно определить только при помощи конвенции, которая всегда оказывается произвольной»1, то это

его замечание (ср. раздел 42) полностью применимо к конвенционалистскому понятию простоты, но

не затрагивает моего понятия простоты. Странно, что сами конвенционалисты не заметили конвен-

ционального характера самого фундаментального для них понятия — понятия простоты. Да они и не

могли заметить его, так как в противном случае им пришлось бы признать то, что никакая апелляция

к простоте не может спасти от произвольности того, кто однажды вступил на путь принятия произ-

вольных конвенций.

С моей точки зрения, некоторую систему следует считать в высшей степени сложной,если в соот-

ветствии с практикой конвенционалистов

1 Schlick М.Die Kausalitдt in der gegenwдrtigen Physik // Naturwissenschaften, 1931, Bd. 19, H. 7, S. 148.

134

мы, безусловно, принимаем ее в качестве раз и навсегда установленной системы, которую, как

только она оказывается в опасности, следует спасать при помощи введения дополнительных (auxilia-ry) гипотез. Дело в том, что степень фальсифицируемости охраняемой таким образом системы равна

нулю.Итак, наше понятие простоты вновь привело нас к методологическим правилам, сформулиро-

ванным в разделе 20, и в частности к правилу или принципу, который удерживает нас от снисходи-