Логико-философский трактат

5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некие суждения, тем самым он создает и мир, в котором будут истинны все суждения, следующие из первых. При этом он не может создать мир, в котором суждение «p» будет истинно, не создав все его объекты.

5.124. Суждение подтверждает любое другое суждение, которое из него следует.

5.1241. «(p × q)» – суждение, которое подтверждает одновременно «p» и «q».

Два суждения противопоставляются друг другу, если нет осмысленного суждения, подтверждающего оба.

Всякое суждение, противоречащее другому, его отрицает.

5.13. Когда истинность одного суждения следует из истинности других, мы видим это по структуре суждения.

5.131. Если истинность одного суждения следует из истинности других, это находит выражение в отношениях, в которых пропозициональные формы находятся друг с другом; для нас нет необходимости устанавливать эти отношения, объединяя формы в одном суждении. Эти отношения являются внутренними, их существование непосредственно вытекает из существования суждений.

5.1311. Когда мы выводим q из (p ∨ q) и ~p, отношение между пропозициональными формами «p ∨ q» и «~p» скрыто способом обозначения. Но если вместо «p ∨ q» мы запишем, например, «p | q × | | × p | q», а вместо «~p» – «p | p» (p | q = ни p, ни q), тогда внутренняя связь станет очевидной.

(Возможность вывода fa из (x) × fx показывает, что символ «(x) × fx» содержит в себе всеобщность.)

5.132. Если p следует из q, я могу заключить от q к p, вывести p из q.

Природа взаимосвязи проявляется лишь в двух суждениях.

Они сами являются единственными возможными оправданиями вывода.

«Законы вывода», которые должны оправдывать вывод, как в работах Фреге и Рассела, лишены смысла и потому излишни.

5.133. Все выводы делаются априорно.

5.134. Элементарное суждение нельзя вывести из другого элементарного суждения.

5.135. Нет способа из существования одной ситуации сделать вывод о существовании другой, полностью отличной ситуации.

5.136. Не существует причинной связи, оправдывающей подобный вывод.

5.1361. События будущего нельзя вывести из событий настоящего. Суеверие есть вера в подобную причинную связь.

5.1362. Свобода воли состоит в невозможности знания действий, лежащих в будущем. Мы могли бы узнать их, только будь причинность внутренней необходимостью, как в случае логического вывода. Связь между познанием и тем, что известно, есть связь «логической необходимости».

(Суждение «A знает, что есть p» не имеет смысла, если p – тавтология.)

5.1363. Если истинность суждения не следует из того, что она очевидна для нас, тогда эта очевидность никоим образом не оправдывает нашу веру в его истинность.

5.14. Если одно суждение следует из другого, тогда последнее говорит больше первого, а первое – меньше последнего.

5.141. Если p следует из q, а q следует из p, они являются одним и тем же суждением.

5.142. Тавтология следует из всех суждений: она не говорит ничего.

5.143. Противоречие – такой общий фактор суждений, который не является общим ни для одной пары суждений. Тавтология – общий фактор всех суждений, которые не имеют ничего общего друг с другом.

Можно сказать, что противоречие кроется вовне всех суждений, а тавтология – внутри них.

Противоречие есть внешний предел суждений; тавтология – несубстанциальная точка в центре.

5.15. Если Иr есть количество оснований истинности суждения «r» и если И_rs есть число оснований истинности суждения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», тогда мы назовем отношение И_rs: И_r степенью вероятности, которую суждение «r» придает суждению «s».

5.151. Вставим в схему пункта 5.101 индекс И_r в качестве числа «И» в суждении r, а индекс И_rs – в качестве числа «И» в суждении s для столбцов, где присутствуют индексы «И» суждения r. Тогда суждение r придаст суждению s вероятность И_rs: И_r.

5.1511. Не существует особого объекта, присущего вероятностным суждениям.

5.152. Когда у суждений нет общих аргументов истинности, мы называем их независимыми.

Два элементарных суждения дают друг другу вероятность ¹/₂.

Если p следует из q, тогда суждение «q» наделяет суждение «p» вероятностью 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности.

(Применение этого к тавтологии и противоречию.)

5.153. Само по себе суждение ни вероятно, ни невероятно. Событие происходит или нет; третьего не дано.

5.154. Предположим, что урна содержит равное количество черных и белых шаров (и никаких других). Я достаю один шар за другим и кладу обратно в урну. Этим экспериментом я могу установить, что количество вытянутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании.

Это не математическая истина.

Теперь я говорю: «Вероятность вытянуть белый шар равна вероятности вытянуть черный шар», и это означает, что при всех известных мне обстоятельствах (включая законы природы, понимаемые как гипотеза), у одной вероятности нет преимущества перед другой. Иными словами, общая вероятность составляет ¹/₂, что легко вывести из предыдущего описания.