Логико-философский трактат

5.461. Хотя это представляется несущественным, на самом деле логические псевдоотношения, такие как ∨ и ⊃, настоятельно требуют скобок – в отличие от подлинных отношений.

Использование скобок с этими предположительно элементарными знаками само по себе указывает, что они не являются элементарными. И никто не поверит, что скобки обладают самостоятельным значением.

5.4611. Знаки логических действий суть пунктуационные знаки.

5.47. Ясно, что все, что можем сказать заранее обо всех пропозициональных формах, мы должны сказать сразу.

Элементарное суждение на самом деле содержит все логические действия. Ибо «fa» говорит то же, что и «(Ǝx) × fx × x = a». Каков бы ни был состав выражения, в нем всегда присутствуют функция и аргумент, а при их наличии мы уже имеем все логические константы.

Могут возразить, что единичная логическая константа – то общее, что есть у всех суждений по самой их природе.

Но это общее – пропозициональная форма.

5.471. Общая пропозициональная форма – суть суждения.

5.4711. Раскрыть суть суждения значит раскрыть суть всех описаний, то есть суть мира.

5.472. Описание наиболее общей пропозициональной формы есть описание одного и только одного общего элементарного знака логики.

5.473. Логика должна сама заботиться о себе.

Если знак возможен, тогда он способен означать. Что возможно в логике, то разрешено. (Причины, по которой «Сократ тождественен», нет, поскольку нет свойства «тождественный». Суждение лишено смысла, потому что мы не смогли дать произвольное определение, а не потому, что символ недопустим сам по себе.)

В известном смысле в логике невозможны ошибки.

5.4731. Самоочевидность, о которой столько рассуждает Рассел, в логике утрачивает значимость только потому, что сам язык предотвращает логические ошибки. Априорно логику порождает невозможность мыслить нелогично.

5.4732. Мы не можем наделить знак неверным значением.

5.47321. Принцип Оккама не является, конечно же, произвольным правилом и не относится к числу тех, которые оправданы успешным применением. Он гласит, что единицы знакового языка, которые не являются необходимыми, ничего не значат.

Знаки, служащие одной цели, логически равнозначны, а знаки, которые не служат никакой цели, логически бессмысленны.

5.4733. Фреге говорит, что любое правильно составленное суждение должно иметь смысл. Я же говорю, что любое возможное суждение составлено правильно, и если оно не имеет смысла, то лишь потому, что мы не смогли наделить смыслом его составные части.

(Даже если мы думаем, что на самом деле это сделали.)

Так, фраза «Сократ тождественен» не сообщает ни о чем, потому что мы не придали прилагательному «тождественный» никакого значения. Выступая знаком тождественности, оно символизирует полностью отличным способом – его знаковые отношения совсем другие; почему символы в этих случаях принципиально различны. Два символа имеют общим только знак, и это случайность.

5.474. Число необходимых основных действий зависит только от системы записи.

5.475. От нас требуется лишь создать систему знаков с конкретным числом измерений – то есть с конкретным математическим многообразием.

5.476. Ясно, что речь не о числе элементарных идей, подлежащих обозначению, но о выражении правила.

5.5. Всякая функция истинности есть результат последовательного применения к элементарным суждениям действия

«(– – И) (ξ, …)».

Это действие отрицает все суждения в правой части выражения, и я называю его отрицанием этих суждений.

5.501. Когда членами выражения в скобках становятся суждения – а порядок членов внутри скобок не имеет значения, – тогда я указываю на это обстоятельство знаком формы «(ξ)». Это переменная, значением которой являются члены выражения в скобках; черточка над переменной указывает, что она представляет все значения в скобках.

(То есть если ξ имеет три значения P, Q, R, тогда (ξ) = (P, Q, R).)

Значения переменной должны быть заданы.

Задание есть описание суждений, представлением которых является переменная.

Каким образом возникает описание членов выражения в скобках, не существенно.

Мы различаем три вида описания: 1. Прямое описание: мы просто заменяем переменной константы в значениях. 2. Задание функции fx, значениями которой для x будут суждения, подлежащие описанию. 3. Задание формального правила, которое определяет создание суждений; в этом случае членами выражения в скобках будут все члены последовательности форм.

5.502. Поэтому вместо «(– – И) (ξ, …)» я пишу «N(ξ)».

Это отрицание всех значений пропозициональной переменной ξ.

5.503. Очевидно, что мы легко можем выразить принцип и способ создания суждений при помощи этого действия, и посему должно быть возможно найти для него точное выражение.

5.51. Если ξ имеет всего одно значение, тогда N(ξ) =~p (не p); если оно имеет два значения, то N(ξ) = ~p × ~q (ни p, ни q).

5.511. Как может логика – всеохватная логика, отображающая мир – использовать столь причудливые значки и манипуляции? Лишь потому, что все они связаны друг с другом в бесконечной изящной сети, образуя как бы большое зеркало.