Логико-философский трактат

5.32. Все функции истинности суть результаты последовательного применения к элементарным суждениям конечного числа истинностных действий.

5.4. Тут становится очевидным, что не существует «логических объектов» или «логических констант» (в том смысле, в каком использовали эти выражения Фреге и Рассел).

5.41. Причина в том, что результаты истинностных действий над функциями истинности всегда тождественны, если они являются одной и той же функцией истинности элементарных суждений.

5.42. Совершенно очевидно, что ∨, ⊃ и т. д. не являются отношениями в том смысле, в каком являются ими правое, левое и т. п.

Взаимоопределяемости «элементарных логических знаков» Фреге и Рассела достаточно, чтобы показать, что они вовсе не элементарны и не выступают знаками отношений.

И очевидно, что «⊃», определяемое посредством «~» и «∨», тождественно тому, которое в сочетании с «~» определяет «∨»; и что второе «∨» тождественно первому; и т. д.

5.43. На первый взгляд кажется маловероятным, что из факта p должно следовать бесконечное множество других, а именно ~~p, ~~~~p и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное число суждений логики (математики) следует из полудюжины «основных законов».

Но на самом деле все суждения логики говорят одно и то же – собственно, ничего.

5.44. Функции истинности нематериальны.

К примеру, утверждение может возникнуть из двойного отрицания: в таком случае можно ли заключить, что в известном отношении отрицание содержится в утверждении? Разве «~~p» отрицает ~p, разве оно подтверждает p или делает и то и другое?

Суждение «~~p» не трактует отрицание как объект; с другой стороны, возможность отрицания всегда присутствует в утверждении.

И если есть объект «~», отсюда следует, что «~~p» сообщает нечто отличное от «p», поскольку одно суждение будет об ~, а другое – нет.

5.441. Это исчезновение очевидных логических констант также проявляется в случае «~ (Ǝx) × ~fx», где говорится то же, что в выражении «(x) × fx», и в случае «(Ǝx) × fx × x = a», тождественном «fa».

5.442. Если дано суждение, тогда даны и результаты всех истинностных действий, опирающихся на это суждение.

5.45. Если бы существовали элементарные логические знаки, тогда любую логику, не способную показать отчетливо, как они расположены относительно друг друга, и оправдать их существование, следовало бы признать некорректной. Порождение логики из ее элементарных знаков должно быть очевидным.

5.451. Если в логике имеются элементарные идеи, они должны быть независимы друг от друга. Если элементарная идея вводится, она должна вводиться во все комбинации, в которых может встречаться. Поэтому она не может вводиться сначала в одну комбинацию, а затем в другую.

Например, после внедрения отрицания мы должны понимать его в суждениях «~p» и в суждениях «~ (p ∨ q)», «(Ǝx) × ~fx» и т. д. Мы не можем ввести его сначала в один разряд выражений, а затем в другой, поскольку иначе возникнут сомнения в том, одинаково ли его значение для обоих классов, и не будет никакой причины комбинировать знаки сходным образом в обоих классах.

(Коротко говоря, замечания Фреге относительно внедрения знаков посредством описания (в «Основных законах арифметики») применимо, mutatis mutandis[3], к внедрению элементарных знаков.)

5.452. Внедрение любого нового понятия в логическую символику является по необходимости немаловажным событием. В логике новое понятие не вводится в скобках или в подстрочном примечании – с тем, что можно назвать невинной миной. (В «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда встречаются определения и элементарные суждения, выраженные в словах. Почему именно слова? Такой метод требует обоснования, но ни одного не приведено и не может быть приведено, поскольку метод на самом деле запрещен.) Однако, если внедрение нового понятия оказалось действительно необходимым, мы должны сразу же спросить себя: «Где именно использование этого понятия неизбежно?» – и потребовать четкого определения его места в логике.

5.453. Все числа в логике требуют обоснования.

Точнее, следует показать, что в логике нет чисел. Нет привилегированных чисел.

5.454. В логике нет соположенности, нет классификации.

В логике не может быть более общего и более особенного.

5.4541. Решения логических задач должны быть просты, ибо они устанавливают стандарты простоты.

Люди всегда верили, что существует некая область, где ответы на вопросы скомбинированы симметрично – и априорно, – что создает упорядоченную, замкнутую систему.

Эта область подчинена закону: Simplex sigillum veri[4].

5.46. Если мы ввели логические знаки надлежащим образом, тогда мы должны одновременно ввести значения всех их комбинаций, то есть не только «p ∨ q», но и «~ (p ∨ q)» и т. д. Мы также должны ввести результаты всех возможных комбинаций в скобках. И таким образом становится ясно, что подлинные общие элементарные знаки – не «p ∨ q», «(Ǝx) × fx» и т. д., а наиболее общие формы их сочетаний.