Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Античные и средневековые догмы заново появились также и в интуиционистских утверждениях о способности человека представить последовательность «четких, отдельных объектов», полученных путем неограниченного присоединения объектов к тем, что уже представлены. Начиная с «единицы» и концептуальной процедуры по «добавлению единицы», интуиционист таким образом постигает интуитивно бесконечную последовательность натуральных чисел 1, 2, 3… бесконечным повторением процедуры. Эта способность интуитивно постигать бесконечную последовательность чисел, как мы видим, далеко не универсальна как среди примитивных, так и среди цивилизованных людей, если, конечно, эта «способность» по умолчанию, согласно гипотезе, латентна, хотя и ненаблюдаема. Бескомпромиссный финитист (такой, как Кронекер) начнет утверждать, что бесконечность интуиционистов имеет только не имеющее смысла устное существование или на бумаге, а не интуитивное существование в уме человечества. Финитист отрицает бесконечность как обман, унаследованный от вышедших из моды философий и осмеянных теологий, поскольку может существовать и без них.

Пребывая в благоговейном страхе перед Кантом, Брауер придерживался мировоззрения Канта в отношении пространства и времени. Позднее (1912) он избавится от априорного пространства, но более преданно воспримет априорное время. Год 1912-й вспомнили, чтобы подчеркнуть тот факт, что математический интуиционизм старше на четырнадцать лет, чем современная квантовая теория физики. Эта теория и последующее развитие атомной физики побудили физиков-теоретиков как минимум очистить свои интуитивные познания «пространства», «времени», «числа» и «идентичности» до концепции, адекватной для описания всех наблюдаемых физических явлений, особенно тех, за которые, как утверждалось, были ответственны атомные ядра. Ситуация в философии в определенном смысле аналогична той, которая последовала за появлением неевклидовой геометрии в описании природы после успеха общей теории относительности. Почти как в классической геометрии (евклидовой), были найдены положения, неадекватные конкретным научным задачам, поэтому традиционное «время» и все остальное требовали пересмотра, чтобы соответствовать идущей вперед науке. Казалось, если математика не вернется к стерильному формализму, ей придется обратиться к науке, где ею пользуются и продолжают оживлять.

Хотя ядра атомов слишком малые частицы, чтобы оказаться поводом для встречи с несколькими величайшими в истории философами-математиками, по меньшей мере трое из них объединились на этой почве. В процессе приспособления к современному научному окружению Пифагору, Аристотелю и Канту пришлось отказаться от некоторых своих самых бережно оберегаемых убеждений. Пифагор отбросил универсальное «число», Аристотель – «тождество», а Кант – свое «время». На макроскопическом (большого масштаба) уровне нет проблем с идентификацией и счетом обозреваемых объектов. Например, каждый камень в куче может быть идентифицирован и отличается от соседнего, а все вместе камни легко пронумеровать: один, два, три… пока куча не будет пересчитана. Это иллюстрирует одну из четырех вообразимых возможностей в плане идентификации и счета. А что три оставшиеся? Физики нашли примеры для двух. Приведем только выводы: квант света нельзя идентифицировать и посчитать, электроны нельзя идентифицировать и посчитать. Таким образом, как минимум в физике древнее понятие «число» лишилось своего универсального значения. Что касается «пространства» и «времени», то они тоже потеряли свою традиционную универсальность, когда перешли к жизни атомных ядер, если вообще не утратили значения, став второразрядными и искусственными «конструкциями», применяемыми из экономии языка для математического описания наблюдаемых явлений. Еще один-два шага в указанном направлении, и, может быть, обнаружится, что эти мнимые «неизбежности» мысли оказываются даже не «применимостями», а вышедшими из моды препятствиями, мешающими пониманию явления.

Чтобы завершить перечень главных изменений, происходящих с базовыми рассуждениями в попытке объяснить природу математики, приведем вердикт по традиционной философии, вынесенный современным логиком и математиком. В 1933 году Рудольф Карнап, позднее присоединившийся к знаменитому Венскому кружку, в своей работе оценил ситуацию следующим образом: «Большинство философов уделяют ей скудное внимание [новой логике, созданной математиками с 1854 года и, особенно, примерно с 1890 года]. Подозрительная сдержанность, с которой они подходят к этой новой логике, немного удивляет.