Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Отступление

Под конец главы давайте я расскажу вам о еще одном волшебном свойстве числа 9. Загадайте любое число, в котором ни одна цифра не повторяется, при этом идут они от меньшего к большему. Это может быть, например, 12 345, 2358, 369 или 135 789. Умножьте это число на 9 и сложите между собой цифры. В том, что результат будет кратен 9, для нас ничего нового нет – удивительным будет то, что цифры в своей сумме дадут ровно 9. Например,

9 × 12 345 = 111 105

9 × 2358 = 21 222

9 × 369 = 3321

Фокус сработает, даже если цифры будут повторяться – главное, чтобы они шли от меньшего к большему и чтобы разряд единиц не равнялся разряду десятков. Вот, смотрите:

9 × 12 223 = 110 007

9 × 33 344 44 9 =300 100 041

Так в чем тут секрет? Давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножаем на 9 число ABCDE, в котором A ≤ B ≤ C ≤ D < E. Так как умножать на 9 – все равно что умножать на 10 – 1, мы приходим к вычитанию

Если считать слева направо, то, с учетом того, что B ≥ A, C ≥ B, D ≥ C, а E > D, мы будем иметь дело с

а сумма цифр результата составит

A+ (B – A) + (C – B) + (D – C) + (E – D – 1) + (10 – E) = 9

что и требовалось доказать.

Глава номер четыре Магия счета

Математика с восклицательным знаком!

В самом начале этой книги мы говорили о том, как посчитать сумму всех чисел от 1 до 100. И мы справились – у нас получилось 5050. Также мы нашли замечательную формулу для подсчета суммы первых n. А почему бы теперь не поискать произведение чисел от 1 до 100? Даже по примерным прикидкам результат получится просто гигантским! Если вам интересно, скажу: это число, состоящее из 158 знаков. Вот оно:

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468

59296389521759999322991560894146397615651828625369792082

7223758251185210916864000000000000000000000000

В этой главе вы увидите, как использовать такие огромные числа для счета. Они помогут нам узнать, сколько существует способов расставить на книжной полке дюжину книжек (примерно полмиллиарда), какие у вас шансы собрать хотя бы одну пару в покере (не такие уж и маленькие) или выиграть в лотерее (не такие уж и большие).

Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,

n! =n× (n – 1) × (n – 2) ×… × 3 × 2 × 1

Например,

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.

Отступление

Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ≥ 2 n! = n × (n – 1)! а значит

Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится

Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:

Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10²². А количество всех-всех атомов во Вселенной – 10⁸⁰. Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.