Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Отступление

В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.

Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:

Правило суммы и произведения

Большинство проблем с вычислением на самом деле сводятся к двум правилам – суммы и произведения. Правило суммы используется, когда нужно подсчитать общее количество имеющихся у вас вариантов выбора. Допустим, у вас есть 3 рубашки с короткими рукавами и 5 рубашек – с длинными. Но наденете-то вы только одну. Значит, вы стоите перед выбором одного из 8 вариантов. Обобщая, можно сказать, что, если у вас есть два типа объектов и количество объектов первого типа равно a, а объектов второго типа – b, всего у вас будет a + b разных объектов (естественно, предполагая, что ни один из объектов типа b не повторяется в типе a).

Отступление

Как уже было сказано, правило суммы исходит из того, что в двух типах объектов каждый объект уникален. Но если у нас все же есть несколько объектов (в количестве c), принадлежащих к обоим типам, не считать же их дважды, правда? Значит, формулу придется немного изменить: a + b – c. Например, если в классе у 12 учеников есть собаки, у 19 – кошки, а у 7 – и собаки и кошки, получается, что общее количество учеников, держащих только одно животное, будет 12 + 19 – 7 = 24. Если перевести это в плоскость чистой математики, в промежутке от 1 до 100 у нас получится 50 чисел, кратных 2; 33 числа, кратных 3; и 16 чисел, кратных как 2, так и 3 (ну или кратных 6). Значит, количество чисел, кратных либо 2, либо 3, нужно подсчитывать так: 50 + 33 – 16 = 67.

Правило произведения применяется в том случае, когда вам нужно предпринять некое действие, которое состоит из двух частей. Если имеется a вариантов выполнения первой части и b вариантов второй, то для всего действия имеется a × b вариантов. То есть если у меня есть 5 разных пар брюк и 8 различных рубашек и если я (как и большинство математиков) при этом не особо озабочен вопросами стиля и сочетания цветов, общее количество возможных комбинаций составит 5 × 8 = 40. А если я еще решу надеть один из 10 своих галстуков (то есть мое действие будет состоять уже из трех частей: галстук, брюки и рубашка), комбинаций станет уже 40 × 10 = 400.

В полной колоде карт каждая карта принадлежит к одной из 4 мастей (пики, червы, бубны, трефы) и 13 достоинств (туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама и король). Значит, всего в полной колоде 4 × 13 = 52 карты. При желании все их можно разложить в виде прямоугольника со сторонами 4 на 13 – тем самым мы получим визуальное представление об общем количестве в 52.

Давайте применим правило произведения для подсчета почтовых индексов. Каково возможное количество пятизначных индексов? Каждый индекс – это пятизначное число, состоящее из цифр от 0 до 9. Наименьшее из них будет иметь вид 00000, а наибольшее – 99999[7]. Значит, всего имеется 100 000 вариантов. К тому же результату можно прийти с помощью правила произведения. У нас есть 10 вариантов выбора числа для первой цифры (от 0 до 9), 10 – для второй, и дальше по 10 для третьей, четвертой и пятой. Значит, имеем 10⁵ = 100 000 вариантов.