Маленькая книга о чёрных дырах

Геодезическая на земной поверхности между Вашингтоном и Сан-Франциско – это кратчайший возможный путь для путешественника, передвигающегося по земле. Геодезическая – это не прямая, но она настолько же близка к прямой, насколько может быть к ней близка любая тропинка на поверхности Земли. Называя ее «прямой», мы хотим сказать, что, идя вдоль геодезической из Вашингтона в Сан-Франциско, мы будем идти прямо, никуда не сворачивая. Из-за кривизны Земли этот самый прямой из возможных путей пройдет немного севернее по широте, чем расположен каждый из двух городов. Еще более рельефный пример той же ситуации дают самолеты, летящие, например, из Афин в Сан-Франциско через Северный полюс. Оказывается, кратчайший путь между этими городами лежит над Гренландией, широта которой гораздо выше, чем широта любого из них. (Конечно, самолеты летят над Землей, а не по ее поверхности, но по сравнению с радиусом Земли высотой их полета вполне можно пренебречь, и для наших целей мы вполне можем представить себе, что самолеты летят практически по земной поверхности.)

Рис. 2.4. Конус не имеет внутренней кривизны – любой лист бумаги легко можно свернуть в кулек. Поэтому когда мы рисуем треугольник со сторонами, являющимися отрезками геодезических, сумма его углов будет равна 180°.

У того же треугольника, нарисованного на листе до его сворачивания в кулек, стороны представляют собой обычные отрезки прямых. А вот у сферы есть положительная внутренняя кривизна, и поэтому у треугольника, стороны которого образуются отрезками геодезических, сумма углов будет больше 180°.

Идея кривизны поначалу выглядит очень просто: мы все понимаем, как искривлена поверхность земного шара. Но в действительности в понятии кривизны, в той его форме, в какой оно чаще всего используется в дифференциальной геометрии (и которая необходима в теории относительности), есть один очень тонкий момент. Чтобы понять, в чем он состоит, рассмотрим различие между конусом и сферой. Обе эти поверхности искривлены, но по-разному. Плоский лист бумаги можно скрутить в конус без растяжения, а со сферой так не получится: если вы хотите покрыть сферу плоским листом бумаги, придется его смять или разорвать. Поэтому мы говорим, что сфера «внутренне искривлена», а конус «внутренне плоский» (если не считать его кромки и вершины). И сфера, и конус обладают «внешней кривизной», что попросту означает, что у них кривые поверхности в трехмерном пространстве. В теории относительности всё дело как раз в наличии внутренней кривизны. Чтобы сосредоточиться на этом параметре искривленных поверхностей, мы ограничимся такими вопросами, на которые можно получить ответ при помощи одних только измерений, производимых на поверхности. При таком подходе мы скажем, что расстояние от Вашингтона до Сан-Франциско равно 2440 миль, и не будем при этом задумываться о более коротком прямом пути между ними сквозь Землю.

Чтобы еще лучше понять геометрию внутренне искривленных поверхностей, надо задуматься о треугольниках, стороны которых образованы геодезическими. В плоской двумерной геометрии сумма углов при вершинах любого такого треугольника будет равна 180°. При наличии положительной внутренней кривизны, такой как кривизна земной поверхности, сумма углов будет больше 180°. Оказывается, есть такие искривленные поверхности (похожие по форме на шейку песочных часов), на которых треугольники, составленные из геодезических, будут иметь сумму углов меньше 180°. Это случай отрицательной внутренней кривизны.

Теперь, когда мы обрисовали главные идеи дифференциальной геометрии, посмотрим, как они обобщаются на четырехмерное пространство-время в общей теории относительности.

Используемая в ней метрика немного сложнее, чем метрика на поверхности Земли, так как задачи у этих метрик разные: вторая определяет расстояние между двумя пространственно разделенными событиями, а первая – время, протекшее между событиями, разделенными во времени. Временной интервал между разделенными во времени событиями в точности равен времени, протекшему для свободно падающего наблюдателя между моментами наблюдения одного и другого события в предположении, что оба события происходят в одной и той же точке в системе отсчета наблюдателя. Осмыслить пространственно разделенные события сложнее: по определению эти события разделены таким расстоянием, что наблюдатель, движущийся медленнее света, не может наблюдать их оба в одной и той же точке в своей системе отсчета. Для статического (то есть не изменяющегося со временем) пространства-времени можно определить расстояние между пространственно разделенными событиями через продолжительность распространения сигнала от одного из них до другого. Для общей теории относительности понятие метрики служит основополагающим: решения уравнений Эйнштейна не что иное, как метрика пространства-времени. Все наше обсуждение черных дыр в главах 3 и 4 будет строиться на особых метриках пространства-времени, известных как решения Шварцшильда и Керра.