Математическая планета. Путешествие вокруг света

Структура родственных отношений варлпири описывается рядом правил. Каждый абориген принадлежит к одной из восьми групп. Так, группа, к которой принадлежат дети от брака, отличается от групп, к которым принадлежат родители, и определяется по материнской линии. Если мы обозначим группы числами от 1 до 8, то дочь женщины из группы 4 будет принадлежать группе 2, ее дочь — группе 3, дочь последней — группе 1. Аналогично определяются взаимосвязи между группами 5, 6, 7 и 8. Следовательно, по материнской линии существует два непересекающихся цикла четвертого порядка, {1, 4, 2, 3} и {3, 7, 6, 8}.

Циклы, определяемые по материнской линии в структуре родственных отношений австралийских аборигенов варлпири.

Еще одно правило заключается в том, что браки не могут заключаться в пределах одной группы. В следующей геометрической модели структуры родства браки обозначены пунктирными линиями.

Браки в структуре родственных отношений варлпири.

Так как группы, к которым принадлежат мужчины, определяются на основе женских, то если мужчина из группы 1 женится на женщине из группы 5, их сын будет принадлежать к группе 7. Следовательно, он женится на женщине из группы 3, а сын от их брака вновь будет принадлежать к исходной группе 1. По отцовской линии определено четыре цикла второго порядка: {1, 7}, {2, 8}, {3, 6} и {4, 3}.

Циклы, определяемые по отцовской линии в структуре родственных отношений варлпири.

Таким образом, имеем два цикла четвертого порядка по материнской линии и четыре цикла второго порядка по отцовской линии, которые в сумме охватывают все восемь групп структуры родственных отношений. Упомянутые восемь групп могут объединяться разными способами и образовывать множества, для которых определяются различные аспекты жизни в обществе. К примеру, группы, описывающие права наследования, отличаются от групп, описывающих допустимые браки или объединения для проведения каких-либо работ.

Формальное математическое описание этой структуры есть не что иное, как практическое применение понятия, которое в теории групп называется группой изометрии восьмого порядка. Чтобы проиллюстрировать эту идею, покажем, как изометрии квадрата образуют группу изометрии восьмого порядка.

Изометрия — это преобразование, не изменяющее форму и размер объектов.

На плоскости определены три изометрических преобразования: параллельный перенос, поворот и отражение (осевая симметрия). Параллельный перенос попросту меняет положение фигуры, поворот заключается во вращении фигуры вокруг неподвижной точки, называемой центром, отражение представляет собой осевую симметрию относительно отрезка. Какие из этих преобразований можно применить к квадрату так, чтобы результат преобразования совпадал с исходной фигурой?

Наименьший угол поворота, при котором квадрат остается неизменным, равен 90°. Такой поворот представляет собой преобразование четвертого порядка:

* * *