Математическая планета. Путешествие вокруг света

ГЕОМЕТРИЯ В ИЗМЕРЕНИИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

Осознаем ли мы что-то так же четко, как ход времени? Сегодня время измеряется в секундах, минутах, часах, днях, месяцах, годах и единицах, кратных и дробных указанным. Не так давно расстояния также измерялись по времени в пути. Для измерения интервалов времени меньше дня или ночи мореплаватели изготавливали различные приспособления. Одним из них был пустой кокос с небольшим отверстием в нижней части. Кокос помещался в таз с водой, постепенно наполнялся и полностью погружался в воду примерно за один час.

Еще одно из таких устройств применяется до сих пор — это песочные часы. В идеальном варианте песчинки падают одна за другой через узкое отверстие, соединяющее два стеклянных конуса. Это наводит на мысли о времени как о дискретной величине, которую можно измерить отдельными песчинками. Однако мы представляем время как непрерывную величину, которая описывается движением радиуса окружности, закрепленного одним концом в ее центре. Измерение времени тесно связано с окружностью и ее делением на 60 частей. Эту систему мы унаследовали от народов Месопотамии и используем как для определения времени, так и для ориентирования в пространстве.

* * *

если мы выполним его четыре раза, то любая фигура вернется в исходное положение.

Если мы обозначим его через I (тождественное преобразование), то четыре возможных поворота будут обозначаться так: G4₁, G4₂, G4₃ и G4₄ = I. Квадрат также остается неизменным при отражении (зеркальной симметрии) одного из следующих видов: (а) вертикальном; (Ь) горизонтальном; (с) относительно восходящей диагонали; (d) относительно нисходящей диагонали. Все эти виды симметрии имеют порядок, равный двум: если мы применим их дважды к одной и той же фигуре, то получим исходную фигуру. Обозначив через S указанные разновидности зеркальной симметрии, получим: S_H, S_F, SD₁ и SD₂. Композиция любого из этих преобразований с самим собой будет тождественным преобразованием I:

S_н°S_н = I, S_v°S_v= I, SD₁°SD₁ = I у SD₂°Sd₂  = I

Все подобные преобразования будут принадлежать группе восьмого порядка, и в этом — их сходство со структурой родственных отношений у варлпири. Два цикла четвертого порядка по материнской линии соответствуют поворотам четвертого порядка, четыре цикла второго порядка по отцовской линии — четырем видам зеркальной симметрии, также второго порядка.

Возможно, варлпири не знают, что их структура родственных связей соответствует объекту, который в западной математике называется группой изометрии восьмого порядка. Однако варлпири определили аналогичное понятие самостоятельно и выстраивают социальные, политические, религиозные и родственные отношения в соответствии с ним. Конечно, система отношений варлпири не является результатом практического применения западной математики. Аборигены использовали эту изометрическую систему задолго до того, как на западе были описаны подобные отношения.

Равновесные ставки

Азартные игры существуют во всех культурах и представляют собой один из видов социального взаимодействия. Ставки делаются на один из множества возможных исходов некоторого события, которое, по крайней мере отчасти, является случайным, то есть его результат нельзя достоверно предсказать заранее. К подобным событиям относятся скачки, игра в кости и множество других азартных игр. Сам факт участия в игре означает, что игрок знаком с ее правилами и ограничениями и, кроме того, понимает, что исход игры является случайным. Именно элемент случайности так привлекает к игре людей. Большие суммы выигрываются при ставках на исходы, маловероятные как в математическом, так и в социальном смысле (когда никто или почти никто не ставит на такой исход).