Математические головоломки профессора Стюарта

– На допросе Арбатнот сказал: «Это сделал Берлингтон». Берлингтон сказал: «Арбатнот лжет». Волверстон сказал: «Это не я». Гамильтон сказал: «Это сделал Арбатнот». Это все.

– Не совсем все. Из другого источника нам известно, что ровно один из них сказал правду.

– У вас есть информатор в близком окружении Могиарти, Спайкрафт?

– У нас был информатор, Хемлок. Его удавили его собственным галстуком, прежде чем он успел назвать нам реальное имя. Очень печальная история: это был галстук выпускника Итонского колледжа, и он совершенно испорчен. Однако не все еще потеряно. Если мы сможем вычислить вора, мы получим ордер на обыск и вернем документ. За всеми четверыми наблюдают, у них не будет возможности передать бумагу Могиарти. Но руки у нас связаны – мы должны придерживаться буквы закона. Более того, если мы придем с обыском не в тот дом, юристы Могиарти предадут нашу ошибку огласке и нанесут нам тем самым непоправимый ущерб.

Кто из подозреваемых вор? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Хозяин всего, что за оградой

Один фермер хотел огородить как можно больший участок поля как можно более короткой оградой. Не слишком, может быть, хорошо подумав, он обратился с этим в местный университет, который прислал ему для консультации инженера, физика и математика.

Инженер построил круглую ограду и сказал, что в данном случае окружность – самая эффективная фигура.

Физик построил прямую ограду такой длины, что ее концы невозможно было разглядеть, и сказал фермеру, что фактически эта ограда идет вокруг Земли, так что он огородил ровно половину планеты.

Математик построил тесную круглую ограду вокруг себя и сказал, что он, математик, находится снаружи.

Еще одна любопытная числовая закономерность

1 × 8 + 1 = 9;

12 × 8 + 2 = 98;

123 × 8 + 3 = 987;

1234 × 8 + 4 = 9876;

12345 × 8 + 5 = 98765.

Итак, вопросы для начинающих Хемлоков Сомсов: что дальше и когда эта закономерность прекратится?

Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

Задача о непрозрачном квадрате

Кстати, об оградах… Что представляет собой ограда наименьшей длины, перекрывающая все линии зрения, проходящие через квадратное поле? Имеется в виду такая ограда, которая пересекалась бы с любой прямой, проходящей через поле. Это и есть «Задача о непрозрачном квадрате»; название указывает, что нужно сделать квадрат полностью непрозрачным для взгляда. Вопрос этот первым задал Стефан Мазуркевич в 1916 г., причем для произвольной фигуры, не только для квадрата. Ответа на него до сих пор нет, хотя некоторый прогресс достигнут.

Предположим, что сторона квадратного поля равна единице. Тогда ограды вдоль всех четырех сторон квадрата наверняка будет достаточно, и ее длина будет равна 4. Однако можно убрать одну из сторон, и квадрат при этом останется непрозрачным, а ответ уменьшится до 3. Это и есть ограда наименьшей длины, образованная одной ломаной линией. Но если мы разрешим строить ограды из нескольких отдельных отрезков прямых, то на ум быстро придет более короткий вариант: две диагонали поля суммарной длиной 2√2 = 2,828 (приближенно).

Можно ли добиться лучшего результата? Один общий факт очевиден: непрозрачная ограда, полностью умещающаяся в пределах поля, обязательно должна содержать все четыре угла квадрата. Если хотя бы один из углов не будет включен в нее, найдется прямая, которая пересечет квадрат в этой единственной точке (она пройдет снаружи по диагонали через угол) и минует нашу ограду. Но даже одна такая прямая станет нарушением условия задачи.

Любая ограда, включающая в себя все четыре угла и соединяющая их, должна быть непрозрачной, потому что любая прямая, рассекающая квадрат, должна либо проходить через угол, либо разделять два угла, а значит, любая линия, соединяющая углы, непременно с ней пересечется. Но является ли пара диагоналей наименее протяженной из подобных оград? Нет, не является. Самая короткая ограда, соединяющая все четыре угла квадрата, называется деревом Штейнера и имеет длину 1 + √3 = 2,732 (приближенно). Линии, составляющие это дерево, встречаются под углами 120°.

Однако оказывается, что даже эта ограда – не самая короткая. Существует разомкнутая ограда, в которой одна из частей блокирует линии прямой геометрической видимости через прореху в другой. Длина ее равна √2 + √(3/2) = 2,639. Считается, хотя пока и не доказано, что это и есть непрозрачная ограда наименьшей длины. Бернд Каволь доказал, что это самая короткая ограда, состоящая ровно из двух несвязанных кусков. Один из этих кусков – дерево Штейнера, связывающее три угла, то есть три отрезка, которые исходят из углов и встречаются под углами 120°. Второй – кратчайший отрезок прямой, соединяющий центр квадрата и четвертый угол.