Математические головоломки профессора Стюарта

Любое целое число a, не равное −1 и не являющееся полным квадратом, есть первообразный корень по модулю бесконечного числа простых чисел. То есть всякое число от 1 до p − 1 есть некая степень a минус некое число, кратное p. Существуют конкретные формулы для количественного соотношения таких простых чисел по мере их увеличения (Emil Artin, 1927).

Гипотеза Брокара

При n > 1 существует по крайней мере четыре простых числа между p² и p²_n+1 (Henri Brocard, 1904). Ожидается, что это верно; более того, по идее должны быть верны куда более сильные утверждения.

Гипотеза Крамера

Промежуток p_n+1 − p_n между последовательными простыми числами для больших n не превосходит (ln p_n)² с постоянным коэффициентом (Harald Cramér, 1936).

Крамер доказал аналогичное утверждение, в котором вместо (ln p_n)² фигурирует при условии что верна гипотеза Римана – возможно, самая важная нерешенная проблема математики (см. «Кабинет…»).

Гипотеза Фирузбахта

Величина строго уменьшается (Farideh Firoozbakht, 1982 г.). Это означает, что для любого n. Это утверждение верно для всех целых чисел вплоть до 4 × 1018.

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда

Пусть π2 (x) обозначает число простых чисел p ≤ x, таких, что p + 2 также простое число. Определим постоянную простых чисел-близнецов

(где символ П указывает на произведение по всем простым числам p ≥ 3). Тогда гипотеза заключается в том, что

где знак ~ означает, что данное отношение стремится к 1 по мере того, как n становится сколь угодно большим (Godfrey Harold Hardy and John Edensor Littlewood, 1923).

Существует также вторая гипотеза Харди – Литтлвуда (см. ниже).

Гипотеза Гилбрейта

Начнем с простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

и вычислим разницу между соседними членами последовательности:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

Повторим те же вычисления для новой последовательности, не обращая внимания на знак, и продолжим в том же духе. Пять первых последовательностей будут выглядеть следующим образом:

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 0, 2, …

1, 2, 0, 0, 2, …

Гилбрейт и Прот предположили, что первым членом каждой из этих последовательностей всегда будет 1, сколько бы раз мы ни повторяли процедуру (Norman Gilbreath, 1958, François Proth, 1978).

В 1993 г. Эндрю Одлизко проверил эту гипотезу для первых 3,4 × 1011 последовательностей.

Гипотеза Гольдбаха для четных чисел

Всякое четное целое число, большее 2, можно выразить как сумму двух простых чисел (Christian Goldbach, 1742).

Т. Оливейра-и-Силва проверил эту гипотезу на компьютере для n ≤ 1,609 × 10¹⁸.

Гипотеза Гримма

Каждому элементу множества последовательных составных чисел можно поставить в соответствие отдельное простое число, которое является его делителем (C. A. Grimm, 1969).

К примеру, если взять составные числа 32, 33, 34, 35, 36, то им можно поставить в соответствие простые числа 2, 11, 17, 5, 3.

Четвертая проблема Ландау

В 1912 г. Эдмунд Ландау перечислил четыре фундаментальные проблемы, связанные с простыми числами и известные в настоящее время как проблемы Ландау. Первые три – это гипотеза Гольдбаха (см. выше), гипотеза о простых числах-близнецах (см. ниже) и гипотеза Лежандра (см. ниже). Четвертая проблема выглядит так: существует ли бесконечно много простых чисел p, таких что p − 1 является полным квадратом? То есть p = x² + 1 для целого x.

Вот первые несколько таких чисел: 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12 101, 13 457, 14 401 и 15 377. А вот пример побольше (но ни в коем случае не самый большой):

p = 1, 524, 157, 875, 323, 883, 675, 049, 535, 156, 256, 668, 194, 500, 533, 455, 762, 536, 198, 787, 501, 905, 199, 875, 019, 052, 101

x = 1, 234, 567, 890, 123, 456, 789, 012, 345, 678, 901, 234, 567, 890.

В 1997 г. Джон Фридлендер и Хенрик Иванец доказали, что существует бесконечно много простых чисел вида x² + y⁴ для целых x, y. Первые из этого ряда: 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401 и 457. Иванец доказал, что существует бесконечно много чисел вида x² + 1, имеющих не более двух простых множителей.

Близко, но не то.

Гипотеза Лежандра

Адриан-Мари Лежандр предположил, что для любого положительного n существует простое число, лежащее между n² и (n + 1)². Это утверждение могло бы быть следствием из гипотезы Андрики (см. выше) и гипотезы Опперманна (см. ниже). Из гипотезы Крамера (см. выше) следует, что гипотеза Лежандра верна для всех достаточно больших чисел. Известно, что она верна вплоть до 1018.

Гипотеза Лемуана, или гипотеза Леви