Математические модели в естественнонаучном образовании

В этой таблице показано довольно интересное поведение популяции; похоже, что численность приближается к равновесию, с 625 деревьями вида  и 375 вида . Фактически, как можно видеть на рисунке 2.1, если бы начали с любого другого неотрицательного выбора  и , численный эксперимент показал бы аналогичное движение к точно такому же соотношению численности деревьев  к численности деревьев . То, что лес приблизится к стабильному распределению двух видов деревьев в отношении , не очевидно из уравнений. Еще менее понятно, почему стабильное распределение находится именно в таком соотношении. Чтобы начать понимать поведение моделей, подобных приведенной выше, нужно использовать несколько вспомогательных математических инструментов.

Рисунок 2.1. Два имитационных моделирования численности деревьев в лесу.

Очень полезными в данном случае оказываются векторы и матрицы. Наиболее удобным математическим языком описания моделей, приведенного выше типа, является язык линейной алгебры. Он включает в себя несколько типов математических объектов, которые могут оказаться полезны.

Определение. Вектором арифметического -мерного пространства  называется упорядоченный набор  вещественных чисел, обычно записываемый в виде строки, либо столбца.

Пример.  и  являются векторами в , а  является вектором в .

Арифметические векторы обычно обозначаются прописными буквами с черточкой над ними. Например, можно использовать запись   для обозначения распределения числа деревьев в год  из примера выше, где . Как видите, много места на странице тратится впустую, когда векторы написаны в столбцах. Поэтому можно писать , что в данном случае несёт ту же информацию.

Определение. Матрица  представляет собой прямоугольную таблицу вещественных чисел с  строками и  столбцами.

Пример.  это матрица 2 x 2, а  – матрица 3 x 4.

Если матрица имеет равное количество строк и столбцы, то она называется квадратной. Обратите внимание, что на самом деле нет никакой существенной разницы между вектором пространства  и – матрицей, они даже записаны идентичным образом.

Матрицы (множественное число слова «матрица») обычно обозначаются заглавными буквами, такими как ,  или . Например, можно сказать,   – это матрица перехода, для модели леса выше, поскольку её элементами являются числа, используемые для прогнозирования будущих популяций деревьев. И переписать модель леса в матричной форме записи так  или просто . Немного опережая события модель была выражена в простой форме , которая очень похожа на линейные модели, рассмотренные в предыдущей главе. Остаётся понять, что имеется в виду, когда записывают , как матрицу, умноженную на вектор.

Определим  так, чтобы уравнения в матричной форме записи и в виде системы линейных уравнения означали одно и то же. Другими словами, если естественным образом можно называть матрицы равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие элементы, то нужно получить  .

Это приводит к следующему определению матричного умножения:

Определение. Произведением 2x2-матрицы на вектор из  называется .

Вместо того, чтобы пытаться запомнить эту формулу, лучше поняться суть процесс матричного умножения: для получения элемента в -той строке -того столбца результата, необходимо умножить -тую строку первого множителя на -тый столбец второго множителя. Для умножения -той строки на -тый столбец вычисляется сумма произведений их соответствующих компонент, как при вычислении скалярного произведения векторов.

Если перемножаются матрицы большей размерности, чем 2 x 2, то действуют аналогичным способом. Заметим, что для нахождения произведения каждая строка матрицы первого множителя должна иметь столько компонент, сколько их в векторе столбце второго множителя. Это означает, если дан -вектор из  и пытаемся его умножить слева на матрицу, то матрица должна иметь  записей в каждой строке и, следовательно, иметь  столбцов. Поскольку пока имеем дело в основном с квадратными матрицами, то будем использовать  матрицы для умножения на вектор из .

Пример.  .

Подумайте еще раз о лесе с двумя видами деревьев. Предположим, что приведенное выше описание того, как изменяется состав леса, происходит только во влажный год, поэтому мы переименуем матрицу перехода .

Если предположим, что в засушливые годы вид  умирает с большей скоростью, то матрица перехода для таких лет может принять вид .

Вопросы для самопроверки:

– Что изменилось в этой матрице, почему оказалось так, что деревья  имеют более высокую смертность в засушливые годы, чем во влажные годы? Фактически, всё, что изменили, это вероятность гибели дерева  в сухой год, теперь она составляет 0,39. Остальные параметры остались такими же, как в исходной модели.

– Убедитесь, что если вероятность гибели дерева  заменяется на 0,39, то получается приведенная выше матрица .

Предположим, что начальные популяции задаются вектором значений , как и прежде. Если первый год сухой, то .

Теперь предположим, что за сухом годом последует влажный год. Как это отразится на популяции? Так как , а , то . Последнее значение легко вычислить путем матричного умножения: .