Математические основы живописи и архитектуры

Такое расположение осей получается при прямоугольном проектировании предмета в том случае, когда все три его измерения одинаково наклонены к плоскости проекций. При таком проектировании размеры предмета по всем трем осям уменьшаются в одинаковой степени и обычно их изображают без изменения.

Рис. 11. Изометрическое проектирование: а – расположение осей координат; б – расположение окружностей

Диметрия подразделяется на прямоугольную и фронтальную (косоугольную).

Для прямоугольной диметрической проекции ось OZ вертикальна, другие две оси наклонены к горизонтали: OX – под углом в 7°, а ОУ – в 41° (рис. 12). При таком проектировании получают изображение, увеличенное в 1,06 раза по сравнению с натуральным.

Фронтальная диметрическая проекция характеризуется тем, что OZ вертикальна, ОХ горизонтальна, а ОУ направляется под углом в 135° к каждой из этих двух осей (рис. 13).

При диметрическом проектировании размеры изображаемого предмета обычно делают без искажения по осям ОХ и OZ, а по оси ОУ уменьшают вдвое. Диметрические изображения более близки к перспективным, чем другие виды аксонометрии.

Рис. 12. Расположение осей координат для диметрической проекции

Рис. 13. Расположение осей координат для фронтальной проекции

Рис. 14. Оси горизонтальной изометрии

Для горизонтальной симметрии угол наклона оси ОY = 30° при сохранении прямого угла между осями ОХ и ОZ (рис. 14).

Этот вид косоугольной изометрической проекции часто используется при решении вопросов пространственной композиции жилых районов и архитектурно-планировочной организации больших территорий (архитектурных ансамблей). Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям равны (k = m = n = 1) и являются действительными.

Построение аксонометрических проекций

Обозначим через К некоторую плоскость, на которую пучком лучей проецируется объемная форма и система координат. Плоскость К называют картинной (рис. 15).

Оси Х', Y', Z' получены проецированием натуральных осей координат X, Y, Z на плоскость К. Они получили название аксонометрических осей.

Рис. 15. Принцип получения аксонометрического изображения

Точка О' – начало аксонометрических осей.

Точка А' – аксонометрическое изображение точки А.

Точка А'₁ – вторичная проекция точки А.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости К (=90°), то получают аксонометрическую проекцию пространственной формы и систему координат прямоугольной аксонометрии.

Если угол /= 90°, то получают проекции косоугольной аксонометрии.

Коэффициенты искажения по аксонометрическим осям. В зависимости от взаимного расположения осей координат плоскости картины и направления проецирования отрезки, откладываемые на осях, например координаты XА, YА, ZА точки А, проецируются на плоскость К с различным искажением (рис.15). Проекции отрезков XА', YА', ZА' могут быть больше или меньше их натуральной величины XА, YА, ZА или равняться ей.

При этом будут иметь место следующие равенства:

ХА'/ХА = k – коэффициент искажения по оси Х;

YА'/YА = m – коэффициент искажения по оси Y;

ZА'/ZА = n – коэффициент искажения по оси Z.

Величины k, m, n называются действительными коэффициентами искажения координат, так как они показывают, в каком отношении искажаются длины отрезков, параллельных осям координат. Коэффициенты искажения могут быть как равными единице, так и отличными от нее.

В практике построения аксонометрических изображений часто пользуются не точными коэффициентами искажения, а другими, пропорциональными им. Эти новые коэффициенты искажения, в отличие от точных, получили название приведенных и обозначаются К, M, N.

Схема построения аксонометрических проекций. Для построения аксонометрического изображения какого-либо предмета необходимо выполнить следующие действия:

определить вид аксонометрической проекции в зависимости от формы изображаемого предмета;

выбрать положение предмета относительно направления проектирования в соответствии с ортогональным чертежом;

соотнести предмет с некоторой системой прямоугольных координат для того, чтобы обеспечить наибольшие удобства определения координат его точек, используемых при построении аксонометрии;

отобрать аксонометрические оси в соответствии с выбранным видом аксонометрии;

построить аксонометрическую проекцию, при этом последовательность построений должна зависеть от формы предмета.