Математические основы живописи и архитектуры

5. Каково взаимное расположение аксонометрических осей в прямоугольной диметрии? Чему равны показатели искажения (натуральные и приведенные) по этим осям?

6. Как выбирается направление большой и малой осей эллипса в прямоугольной аксонометрии, изображающего окружность, расположенную в координатной плоскости либо ей параллельной?

7. Чему равна длина большой и малой осей эллипсов в прямоугольной изометрии по приведенным коэффициентам искажения?

8. Чему равна длина большой и малой осей эллипсов в прямоугольной диметрии по приведенным коэффициентам искажения?

9. Как определяются коэффициенты искажения по осям?

10. В каких случаях применяется косоугольная фронтальная изометрия, косоугольная фронтальная диметрия?

11. Какие действия следует выполнить для построения аксонометрического изображения?

12. Что дает применение теней в аксонометрии?

13. Какие условия должны быть выполнены при построении теней в аксонометрии?

14. Как строится тень плоской фигуры?

15. Как строится тень от конуса?

§ 3. Виды перспективы

Перспектива (фр. perspective от лат. perspicere – смотреть сквозь) – наука об изображении пространственных объектов на плоскости или какой-либо поверхности в соответствии с теми кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний формы и светотеневых отношений, которые наблюдаются в натуре.

Другими словами можно сказать, что это – явление кажущегося искажения пропорций и формы тел при их визуальном наблюдении.

Перспектива – это геометрия живописи. Понятие перспективы можно пояснить при помощи пяти терминов математики: точка, линия, угол, поверхность и тело.

Линейная перспектива

Теория линейной перспективы впервые появилась у Амброджо Лоренцетти в XIV веке и вновь была разработана в эпоху Возрождения. Она основывалась на простых законах оптики и превосходно подтверждалась практикой.

В зависимости от того, как и где расположен наблюдаемый нами предмет, наши представления о нем меняются. Эти изменения подчиняются определенному закону.

Чтобы понять сущность понятия «перспектива», необходимо познакомиться с некоторыми другими понятиями. Представим себе, что между человеком и объектами помещено стекло перпендикулярно земле и линии взгляда (рис. 24). Через него зритель видит то, что находится по ту сторону стекла.

Обведя через него то, что видим, мы получим изображение на нем. Тогда:

предметная плоскость – плоскость земли;

картинная плоскость – плоскость, на которой мы получаем изображение;

основание картинной плоскости – прямая, ограничивающая картинную плоскость снизу;

главный луч зрения – луч, проведенный из точки зрения перпендикулярно картинной плоскости;

точка главного схода (Р) – точка пересечения главного луча зрения и картинной плоскости, плоскость горизонта проходит через главный луч зрения и линию горизонта;

главный перпендикуляр – перпендикуляр, проходящий через точку Р и основание картинной плоскости;

плоскость главного перпендикуляра – плоскость, проходящая через главный перпендикуляр и точку О;

линия горизонта (линия перспективного горизонта) – горизонтальная линия, проходящая через точку Р, параллельная основанию картинной плоскости.

Рис. 24. Основные термины и понятия перспективы

Если на линии горизонта от точки Р отложить расстояние до зрителя РО вправо и влево, мы получим точки D и D₁, они называются точками отдаления и будут играть важную роль в перспективных построениях.

Точка Р и линия горизонта также имеют большое значение в перспективных построениях. С них начинается весь ход построений. На линии горизонта находятся точки, где сходятся на рисунке уходящие вглубь параллельные линии. Эти точки называются точками схода.

Линии перспективного и географического горизонта совпадают с горизонтальной прямой, проведенной на высоте точки наблюдения.

Законы перспективы:

1) все предметы по мере удаления от нашего глаза кажутся меньше;

2) все линии, идущие перпендикулярно к горизонту, сходятся в главной точке схода Р;

3) линии, параллельные горизонту, где бы они ни находились, не изменяют своего горизонтального положения.

Правила построения линейной перспективы. В геометрии линейная перспектива строится методом центрального проецирования, т. е. из выбранной точки пространства, которая будет являться центром перспективы, или точкой схода, проводят лучи (линии) ко всем точкам изображаемого предмета. Далее на пути этих линий помещают поверхность, на которой мы хотим получить изображение.

Лучше всего иллюстрирует этот метод пример построения куба, показанный на рис. 25. Это случай с одной и несколькими точками схода.

Рис. 25. Построение перспективы с одной и несколькими точками схода

При построении линейной перспективы следует помнить основные правила: