Математический аппарат инженера

По-видимому, все лучшее, что можно извлечь из различных вариантов функционально полных систем, уже заложено в булевой алгебре и алгебре Жегалкина. Но при решении специальных задач не исключается построение и применение других алгебр логики.

- 520 -

10. Булевы алгебры. Алгебра, основные свойства которой приведены в (1.5.4) и (1.5.5), является лишь частным и простейшим случаем широкого класса так называемых булевых алгебр. Обычно при определении булевой алгебры одну из операций (дизъюнкцию) называют сложением, а другую (конъюнкцию) — умножением и наделяют их свойствами, аналогичными уже рассмотренным свойствам.

Сравнив свойства булевой алгебры и алгебры множеств (2.1.1), легко убедиться, что алгебра множество также является булевой алгеброй относительно операции объединения ∪ и пересечения ∩. Роль единицы и нуля играют соответственно исходное множество (универсум) U и пустое множество ∅, а операции отрицания соответствует дополнение до исходного множества. В то же время алгебра Жегалкина (6) не относится к классу булевых алгебр, так как одна из ее операций (сложение по модулю 2) не является дистрибутивной относительно другой операции (конъюнкции).

Приведем еще один пример булевой алгебры на ограниченном множестве М действительных чисел, содержащем верхнюю p и нижнюю q грани. Операции сложение и умножения (дизъюнкции и конъюнкции) можно определить как x ∨ y = max(x,y) и xy = min(x,y). Роль 1 и 0 играют соответственно p и q. Отрицание x определяется числом, симметричным числу x относительно центра множества 1/2(p+q), т.е. предполагается, что множество М симметрично относительно своего центра (сам центр может и не входить в состав множества). Эта алгебра включает и двоичную алгебру как частный случай, когда множество М состоит только из двух чисел 0 и 1, причем p = 1 и q = 0 (центр 1/2 не входит в М).

3. Контактные схемы

1. Контакты. Как уже отмечалось в (1.5.7), любую булеву функцию можно реализовать схемой, состоящей из последовательно и параллельно соединенных ключей. Каждый такой ключ может находиться в двух состояниях — разомкнут (0) и замкнут (1), а переход из одного состояния в другое осуществляется каким-либо управляющим органом.

В электрических цепях роль ключей играют многочисленные устройства, предназначенные для коммутации (замыкания и раз

- 522 -

мыкания): выключатели, электромагнитные реле, телеграфные ключи, электронные ключевые схемы и т. п. Обычные выключатели, телеграфные ключи и подобные им устройства управляются рукой человека. Состояние электромагнитного реле изменяется под воздействием электрического тока, протекающего по обмотке катушки. Ключом в широком смысле является всякое устройство, способное принимать только одно из двух возможных состояний: механические защелки, дверные замки, рычаги управления, железнодорожные светофоры и т. п. Более того, двузначную переменную, независимо от ее конкретного смысла, можно рассматривать, как ключ, состояние которого соответствует значению этой переменной.

В рамках общей теории целесообразно отвлечься от конструктивных и специфических особенностей ключевых объектов и интерпретировать ключ как отрезок проводника с контактом, который может быть разомкнут или замкнут. Разомкнутое состояние контакта отождествляется с нулем, а замкнутое - с единицей.

Замыкающие (нормально разомкнутые) контакты обозначаются х_i, размыкающие (нормально замкнутые) контакты — через х̅_i. При управляющем воздействии контакт меняет свое состояние: нормально разомкнутый контакт замыкается, а нормально замкнутый - размыкается. В зависимости от своего состояния контакты пропускают электрический ток или препятствуют его прохождению.

Процессы переключения в реальных устройствах занимают некоторое, иногда довольно большое время. Однако во многих задачах время переключения можно не учитывать, считая, что контакты переходят из одного состояния в другое мгновенно.

2. Однотактные схемы. Схемы, образованные соединением контактов, которые переключаются одновременно (за один такт), а время переключения не учитывается, называются однотактными.

Простейшие примеры таких схем были рассмотрены выше. Каждая из них, будучи включена в цепь с источником, в результате совместного действия контактов замыкает или размыкает эту цепь и, следовательно, сама является некоторым контактом по отношению к цепи с источником. Подобные контактные схемы называют двухполюсными.

Соответствие между двухполюсной контактной схемой и булевой функцией y = f(x₁, x₂, ..., x_n) выражается следующим образом:

- 523 -

значения переменных x₁, x₂, ..., x_n определяются наличием (1) или отсутствием (0) тока в обмотке реле, а значения функции у - состоянием двухполюсной цепи (как и для контактов, 0 соответствует разомкнутой, а 1 — замкнутой цепи).

Рис. 191. Условное представление контактной схемы с n входами.