Математический аппарат инженера

Независимо от характера ключей двухполюсная контактная схема представляется как схема с n входами x₁, x₂, ..., x_n и одним выходом у (рис. 191). Состояния входов определяют воздействия на контакты схемы, причем вход х, управляет всеми контактами, обозначенными этой буквой (х_i или х̅;_i).

3. Анализ контактных схем. Задача анализа контактной схемы состоит в построении соответствующей ей булевой функции. Для параллельно-последовательных схем эта задача решается на основе

Рис. 192. Контактная схема, соответсвующая булевой функции y = (x₁ ∨ x₂)x̅₃ ∨ x̅₂x₃ (x̅₁x₃ ∨ x₂x̅₃)x₄.

Рис. 193. Мостиковая схема, соответствующая булевой функции y = x₁x̅₂x₃ ∨ x₁x₂x₃ ∨x̅₁x₂x̅₃ ∨x̅₁x̅₂x₃ =x₁ + x₂ + x₃

того, что параллельное соединение контактов соответствует дизъюнкции, а последовательное соединение — конъюнкции переменных, которыми эти контакты обозначены в схеме. Например, для двухполюсной контактной схемы (рис. 192.) y = (x₁ ∨ x₂)x̅₃ ∨ x̅₂x₃ (x̅₁x₃ ∨ x₂x̅₃)x₄.

Если схема (или ее часть) имеет произвольную структуру, то ее анализ проводится путем выделения всех путей между входным

- 524 -

и выходным полюсами схемы. Каждый такой путь представляется конъюнкцией переменных входящих в нее контактов, а вся схема — дизъюнкцией этих конъюнкций. Например, для мостиковой схемы (рис. 193) y = x₁x̅₂x₃ ∨ x₁x₂x₃ ∨x̅₁x₂x̅₃ ∨x̅₁x̅₂x₃

Интересно отметить, что эта функция реализует операцию сложения по модулю 2 трех двоичных переменных, т. е. у = х₁ + х₂+ х₃,в чем можно убедиться по таблицам соответствующих функций.

4. Синтез контактных схем. При построении контактной схемы по заданной булевой функции (задача синтеза) исходная функция может быть задана как логической формулой, так и таблицей. В обоих случаях прежде всего необходимо выразить функции через операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Каждая операция конъюнкции соответствует последовательному соединению контактов, а операция дизъюнкции — параллельному соединению. В результате получаем последовательно-параллельную контактную схему.

Пусть, например, функция задана таблицей соответствия, приведенной в (2.5).

На основе ее в совершенной дизъюнктивной нормальной форме строится схема в виде параллельного соединения ветвей, каждая из которых представляет собой последовательное соединение контактов, соответствующих переменным конституент единицы (рис. 194, а).

Преобразуя исходное выражение, можно получить другие контактные схемы, соответствующие данной функции. Так, для рассматриваемого примера: y = x̅₁x̅₂x₃ ∨ x̅₁x₂x̅₃ ∨ x₁x̅₂x̅₃ ∨ x₁x₂x₃ = x̅₁(x̅₂x₃ ∨ x₂x̅₃) ∨ x₁(x̅₂x̅₃ ∨ x₂x₃).

Этому выражению соответствует схема рис. 194. б, которая содержит на два контакта меньше. Еще проще мостиковая схема (рис. 193), которая реализует ту же функцию.

а

б

Рис. 194. Контактные схемы, соответствующие совершенной дизъюктивной нормальной форме (а) и упрощенному варажению (б) булевой функции.

Центральной проблемой синтеза является построение наиболее простой или в каком-то смысле оптимальной схемы. Часто эта проблема сводится к минимизации булевых функций, т. е. к такому их представлению, в котором соответствующие формулы содержат

- 525 -

минимальное количество вхождений переменных. Проблема оптимального синтеза еще далека от полного решения, но разработанные методы позволяют существенно упрощать формулу и схемы, а в сравнительно простых случаях получать и оптимальные схемы.

5. Схемы со многими выходами. Если необходимо реализовать несколько булевых функций, то каждая из них может быть представлена соответствующей контактной схемой. Однако такой путь неэкономичен. Более целесообразно построить единую схему с несколькими выходами (рис. 195), соответствующими данной системе функций: y₁ = f₁(x₁, x₂, ..., x_n); f₂(x₁, x₂, ..., x_n); ...; f_m(x₁, x₂, ..., x_n);

Рис. 195.

Примером многовыходной схемы может служить полное релейное дерево, в котором каждая конституента единицы представлена одним выходным полюсом, а всего имеется 2ⁿ выходов (на рис. 196, а) изображено полное релейное дерево для п = 3).

Рис. 196. - Полное релейное дерево

Любую функцию от n переменных можно реализовать объединением выходов полного релейного дерева, которые соответствуют тем наборам переменных, на которых функция принимает значения 1. Контакты, которые не подсоединены к требуемым выходам, удаляются из схемы. Например, для функции, заданной таблицей в (2.5), построение приведено на рис. 196 б. После упрощения эта схема приводится к виду рис. 194 б.

Более простые схемы можно получить объединением участков релейного дерева, общих для путей, которые соответствуют различным конституентам. Для этого обозначаем одинаковыми буквами или цифрами те узлы, из которых выходят пары х_n и х̅_n с совпадающими

- 526 -