Математический аппарат инженера

значениями функции. Дальше аналогично обозначаем одинаковыми буквами узлы, из которых выходят пары х_n-1 и х̅_n-1 с совпадающими предыдущими обозначениями (порядок букв также учитывается) и т. д. до последней пары х₁и х̅₁. После этого одинаково обозначенные узлы объединяются и проводятся упрощения в соответствии с рис. 197.

	x ∨ x = x
	x ∨ x̅ = 1
	xx = x
	xx̅ = 0

Рис. 197. Упрощение контактных схем для одной переменной.

Так, в схеме рис. 196, б для пар (x₃, x̅₃) имеется две комбинации значений (1, 0) и (0, 1). Узлы, из которых выходят пары с комбинациями (1, 0), обозначаем буквой а, а узлы, из которых выходят пары с комбинациями (0, 1) — буквой b. Для пар (x₂, x̅₂) также встречаются две комбинации в предыдущих обозначениях: (а, b) и (b, а). Узлы, из которых выходят эти пары, обозначаем соответственно через а' и b'. Наконец, для пары (x₁, x̅₁) имеется единственная комбинация (а', b'), и узел, из которого выходит эта пара, обозначаем через а".

Объединяя узлы с одинаковыми обозначениями (а и b), приходим к схеме, показанной на рис. 198, которая после замены параллельных контактов совпадает с мостиковой схемой (рис. 193).

Рис. 198. Преобразование контактной схемы (рис. 196, б) к мостиковой (рис. 193).

Объединяя выходы полного релейного дерева, можно построить контактные схемы и для нескольких функций при условии, что множества наборов значений переменных, на которых эти функции принимают значения 1, не пересекаются. Пусть, например, требуется построить контактную схему с двумя выходами, реализующую функции y₁ = x₁x₂ ∨ x̅₁x̅₂ и y₁ = x₁x̅₂ ∨ x̅₁x̅₃. Из таблицы соответствия для этих функций

видим, что ни на одном наборе значений переменных функции не принимают одновременно значений, равных 1. Следовательно, для построения требуемой контактной схемы можно воспользоваться полным релейным деревом (рис. 199, а)в результате преобразования которого получаем схему с двумя выходами (рис. 199, б).

а

б

Рис. 199. Построение схемы с двумя выходами:

а - преобразование полного релейного дерева;

б - контактная схема

6. Булевы матрицы. Для описания контактных схем произвольной структуры с любым числом выходов используются различные типы булевых матриц, элементами которых являются константы 0 и 1, переменные x₁, x₂, ..., x_n и функции этих переменных.

Рис. 200. К определению булевых матриц контактной схемы.

Пусть контактная схема имеет k узлов. Матрица непосредственных связей (примитивная матрица соединений) Р - это квадратная таблица k×k, элементы главной диагонали которой равны 1, а элементы p_ij = p_ji представляют собой булеву функцию прямого соединения между узлами i и j. Матрица полных связей (полная матрица соединений) Q отличается тем, что ее элементы q_ij = q_ji представляют собой булеву функцию с учетом всевозможных путей без циклов между узлами i и j. Так, для схемы рис. 200 имеем:

- 528 -

Произведение булевых матриц определяется, как и для обычных матриц, правилом «строка на столбец», но операциям сложения и умножения действительных чисел соответствуют дизъюнкция и конъюнкция логических переменных и функций. Элементы матрицы C = AB, где А и В - булевые матрицы, выражаются соотношением c_ij = a_i1b_1j ∨ a_i2b_2j ∨ ... ∨ a_inb_nj. Произведения матрицы самой на себя выражается как ее степени AA = A², A²A = A³, ..., A^n-1A = Aⁿ.

Можно показать, что для любой контактной схемы с k узлами существует такое r ≤ k - 1, что P^r = P^r+s = Q, где s - произвольное целое положительное число. Это значит, что матрицу полных связей можно получить умножением матрицы непосредственных связей Р на саму себя до тех пор, пока результат не начнет повторяться, причем число таких умножений не превышает k - 1. Так, для рассматриваемого примера имеем:

Следует отметить, что элементы матрицы Рⁱ представляют собой функции всех связей между узлами посредством не более чем i-1 узлов. В частности, каждый элемент матрицы P² учитывает непосредственные связи между парой узлов и связи между ними посредством еще одного узла. Например, p₂₃ = p₃₂ = x₄ ∨ x₂x₃ соответствует непосредственной связи между узлами 2 и 3 через контакт x₄, а также связи посредством узла 4 (член х₂х₃).

7. . Исключение узлов (анализ). При анализе контактной схемы с помощью булевых матриц сначала записывается матрица непосредственных связей Р, а затем путем возведения ее в соответствующую степень получается матрица полных связей Q. Элементы q_ij матрицы Q и представляют собой булевы функции данной контактной схемы между парами узлов с соответствующими номерами.