Математическое мышление. Книга для родителей и учителей

Предлагая ученикам взять задачу из реального мира, основанную на реальных данных и ограничениях, и решить ее с помощью математики, мы тем самым предлагаем им смоделировать соответствующую ситуацию. По словам Вольфрама, ученики должны столкнуться с задачей реального мира или найти ее, составить модель решения, выполнить вычисления (возможно, с помощью калькулятора или компьютера), а затем выяснить, верен ли полученный ответ или модель необходимо усовершенствовать. Он обращает внимание на то, что сейчас ученики тратят 80% времени на уроках математики на выполнение вычислений, а вместо этого им следует работать над тремя другими аспектами: созданием моделей, их уточнением и использованием для решения реальных задач.

На уроках алгебры ученикам часто предлагают вычислить что-то, а не создать модель с использованием алгебры. Возьмем в качестве примера такую задачу.

Человек, который придерживается диеты, идет в магазин, чтобы купить индюшатины. Ему дают три кусочка, общий вес которых составляет ¹/₃ фунта, но в диете сказано, что он может съесть только ¹/₄ фунта. Какую часть купленного мяса может съесть этот человек, чтобы не нарушить диету?

Для многих это трудная задача. Но проблемы, с которыми сталкивается большинство, связаны не с вычислениями, а с созданием модели решения. Я много где писала об элегантных визуальных решениях, которые нашли дети для этой задачи (Boaler, 2015a). Вот то, которое предложил один ученик четвертого класса.

Если три кусочка весят ¹/₃ фунта, то один фунт можно представить в виде 9 кусочков, как показано на рис. 9.9.

Рис. 9.9. Девять кусочков

Если он может съесть четверть фунта, то это количество, отображенное в одном квадранте на рис. 9.10, что составляет 2¹/₄ кусочка.

Рис. 9.10. Девять кусочков, разделенных на квадранты

Взрослые же изо всех сил старались решить задачу традиционными методами: они либо неправильно умножали, либо пытались применить алгебру, но не помнили, как именно это делать. Чтобы использовать алгебру, им нужно было сказать:

x кусочков = ¹/₄ фунта

…а затем применить метод перекрестного умножения и получить x = 9/4.

У взрослых, которым ставили эту задачу, возникали трудности с созданием модели и составлением выражения. На уроках алгебры дети почти не получают опыта интерпретации ситуаций и создания моделей. Их учат перемещать переменные на странице и решать множество примеров, но они редко занимаются постановкой задач, а это и есть важный аспект того, о чем говорит Вольфрам: создания модели.

Моделированием могут заниматься люди всех возрастов. Например, ученикам подготовительного класса начальной школы можно предложить составить схему размещения детей в классе, чтобы все они могли поместиться на ковре. Ученики могут представить каждого ребенка в виде какой-нибудь фигуры и найти подходящий способ их размещения на ковре. Это пример моделирования ситуации, в данном случае с помощью фигур или предметов, символизирующих более сложные объекты (маленьких детей!): YouCubed at Stanford University, 2015b; www.youcubed.org/task/moving-colors.

Математические модели часто отличаются большей простотой по сравнению с реальными ситуациями. В примере с подготовительным классом фигуры, символизирующие детей, не учитывают их размер или движения. В примере с кусочками индюшки подразумевается, что все они имеют одинаковый размер и вес и между ними нет никаких различий.

Эта задача помещена в нереальный контекст, но он позволяет ученикам проанализировать разные аспекты реальной ситуации и использовать их в своих размышлениях. Вероятно, ученики захотят определить площадь участка, по которому должен ходить козлик. Либо сами ученики, либо учитель может предложить оградить участок забором. Отличное расширение этой задачи состоит в том, чтобы предложить ученикам определить, как они разместят 60 планок шириной 30 см, чтобы максимально увеличить дополнительную площадь. Это замечательная, содержательная задача, о которой шла речь в главе 5. Размышляя о посадке дерева, ученики могут задать себе вопрос: что будет, если козлик съест саженец? Какое дерево лучше всего посадить? Где его лучше посадить, чтобы козлик его не съел, но мог быть в тени?

Хорошая задача на моделирование, над которой могут работать ученики средних и старших классов, — известная задача о привязанном козлике. Ее расширенный вариант, представленный в примере 9.8, составила Кэти Уильямс.