Математика для гуманитариев. Живые лекции

А.С.: Бесконечность — это гвоздь программы, безусловно. Потому что бесконечность — это центральное понятие в математике. Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это — наука о бесконечности. В этом смысле математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — это наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.

Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом разрезе, геометрическом.

Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадратный из 100 — это 10. Потому что 10 х 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двух — это не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что такое целое число, знают все. Целые числа — это ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так далее — в отрицательную. У древних была большая проблема с отрицательными числами. Число, бесконечность, уравнение — это всё то, с чем математики всё время имеют дело. Что такое число? Для древних число — это то, чем мы считаем предметы. Более того, до сих пор натуральными числами часто называют числа, используемые для подсчета предметов. Ноль — это для древних уже было что-то странное. Число или не число? Натуральное ли оно? Ноль — это отсутствие предметов. Отсутствие — это количество или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Значит, вы считаете, что ноль все-таки натуральное число[15]. А отрицательных чисел у древних греков не было. Вот если бы математика началась в России, то проблем с этим не было бы. Потому что −1, −10 — это мороз, снег идет. Всё понятно — на улице отрицательная температура.

Когда я учился в школе, к нам как-то приехали американцы. И они сказали, что уровни умственного развития школьников в России и в Америке различаются как небо и земля[16]. На что я заметил, что всё очень просто. В Америке редко бывают отрицательные температуры, и поэтому у школьников есть проблема с постижением отрицательных чисел. Американец сильно задумался (тем более, что у нас градусы Цельсия, а у них Фаренгейта!).

Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое −5 и −3. Это когда снег, и мама на голову шапку надевает.

Рис. 58. Наружный термометр — инструмент для освоения отрицательных чисел.

Это вот ваш градусник (рис. 58).

Нулевая температура. А может, 1, 2, 3, −1, −2, −3… градусов. Но между ними тоже что-то есть.

Слушатель: Да.

А.С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?

Слушатель: Да.

А.С.: Или три и три четверти градуса.

Слушатель: Да.

А.С.: То есть я могу назвать доли. Их сейчас даже в детсаду рассматривают.

Пришло ко мне на день рождения 15 детей. И, допустим, у меня есть 23 яблока. Я взял нож и аккуратно разрезал яблоки на 15 равных частей каждое. Каждому ребенку достанется 23/15 яблока, то есть по 23 дольки.

Это — число между единицей и двойкой:

1 < 23/15 < 2.

Такие числа древние отлично знали. Мы их называем рациональными, а они их называли дробями или просто числами. Рациональное число — это число, которое может выражать количество яблок, разделенное на количество детей. Пришло вот к вам «n», целое ненулевое число детей, а у вас имеется «m» — целое число яблок. Получаем рациональное число m/n. Числитель дроби может быть меньше нуля.

Ну, скажем, у вас было −5 яблок, и пришло 7 детей. Каждый получил −5/7 яблок.

Слушатель: Бедные дети…

А.С.: Или вы позвали 30 гостей на день рождения и сказали: «У меня −700 тысяч рублей, в смысле, я должен за квартиру 700 тысяч рублей. Скиньтесь, пожалуйста, поровну». Вот вам и минус: −700/30. Когда вы говорите о таких вещах, как долги, то сразу вылезают отрицательные числа. Я предлагаю вам понять, что все эти числа живут где-то на числовой прямой. Число 5/7 живет где-то между нулем и единицей (рис. 59). Давайте начнем шагать по оси шагами в одну сотую. Мы, на наш взгляд, целиком замостим нашу прямую: 211/100, −135/100 и т. д.

Puc. 59. Шаги-то получились меньше, чем точка от мелка!

И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь шагать шагами, равными 1/1000 или 1/000000. Где бы вы ни сидели на числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число вида m/n.

Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть числа, заведомо не представимые в виде m/n, ни при каких целых m и n (врезка 5).