Математика для гуманитариев. Живые лекции

Врезка 5. «Причина смерти — корень из двух!»[17]

Говорят, что пифагорейцы (ученики знаменитого философа и математика Пифагора) сначала верили, что для вычислений вполне хватает положительных рациональных чисел, и что в этом проявляется божественная гармония окружающего мира. Однако «не в меру способный» ученик Пифагора додумался до того, что строго доказал НЕИЗМЕРИМОСТЬ диагонали квадрата (с единичной стороной) с помощью рациональных чисел. Пифагорейцы в гробовом молчании выслушали его доказательство и не смогли его опровергнуть. Гармония мира оказалась под угрозой! Поэтому было принято решение: никому про это не рассказывать, а нарушителя мировой гармонии наказали… утоплением в реке, на берегу которой всё это и происходило. К счастью для математики, истина потом всё равно «воссияла».

Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое число. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

Рис. 60. Нарушители мировой гармонии — за работой.

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А.С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас, чему равна площадь получившегося внутри квадрата?

Рис. 61. Внутренний квадрат — вдвое меньше по площади.

Слушатель: 2.

А.С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у большого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона a, то площадь его равна a · a = a².

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина — теорема Пифагора и определение корня; геометрическая причина — соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А.С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

Слушатели: Да.

А.С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов[18]. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказывать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: a² + b² = c².

Мне нужно его доказать для любого прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c (рис. 63).

Рис. 63. Для каждого треугольника мы ниже покажем теорему Пифагора методом «Взгляни на чертеж — из него все ясно».

Беру два квадрата со стороной a + b.

Они будут одинаковы, но я их по-разному разобью на части (рис. 64).

Рис. 64. Слева и справа виден квадрат со стороной a + b. Он по-разному разбит на части, но и там, и тут мы видим 4 одинаковых треугольника (их стороны указаны на рис. 63). Убирая эти треугольники, слева видим квадрат гипотенузы, а справа — сумму квадратов катетов. Вот и всё доказательство.

Площадь внутри левого квадрата равна c².

Площади квадратов внутри правого квадрата равны a² и b².

Теперь смотрите, правый квадрат состоит из 4 треугольников и двух квадратов, а левый — из четырех таких же треугольников и одного квадрата. Но внешние квадраты имеют одинаковые площади. Из площади правого квадрата я вычел 4 одинаковые площади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площади оставшегося должны быть одинаковыми. В одном случае остается с², а в другом — сумма а² + b². Значит,

a² + b² = c².

Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, согласно тому, что я нарисовал, она и в самом деле ему равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный нашей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида m/n. Ни при каких m и n. Вы переберете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух.

Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы разберем ниже два разных доказательства.

Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы применим к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это число не может быть рациональным

Слушатель: То есть это несуществующее число?