Математика для мам и пап: Домашка без мучений

Еще одна путаница, связанная с отрицательными числами, – беспорядочное использование слова «минус». Минус может использоваться для обозначения действия (как в предложении «Восемь минус три равно пяти») или состояния («Температура была минус шесть градусов»). Лучший способ устранить эту путаницу – никогда не использовать слово «минус» в разных смыслах. Можно, к примеру, всегда обозначать действие словом «вычесть»[4].

Хитроумный прием Гаусса

В чем же заключался фокус Гаусса? Напомним: дети получили задание найти сумму: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … и так до 100.

Гаусс поступил хитро. Вместо того чтобы складывать числа последовательно, он заинтересовался тем, что получится, если записать все числа подряд, а ниже выписать их еще раз, но уже в обратном порядке.

Записав это, Гаусс понял, что если сложить попарно числа, оказавшиеся одно над другим, то получится следующее:

101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101.

Понятно, что это просто 101 × 100, простой пример на умножение с ответом 10 100. Нужная нам сумма составляет ровно половину данной величины, то есть 5050.

Вот вам доказательство (если, конечно, здесь нужно что-то доказывать) того, что иногда полезно немного подумать о задаче, прежде чем начинать вычисление стандартным методом. Как думаете, не стоит ли рассказать ребенку эту историю в качестве сказки на ночь?

Сложение и вычитание: Письменные методы

В предыдущей главе мы рассказали, как помочь детям складывать и вычитать. Мы утверждали также, что в любом случае им будут встречаться примеры, которые сложно решить в уме. Можно сказать, что в вопросе о том, что лучше – расчеты ручкой на бумаге или калькулятор, мир образования раскололся надвое. Некоторые убеждены, что, как ручка (или карандаш) и бумага в свое время являлись передовой технологией, так и нынешним детям следует пользоваться современной технологией – калькуляторами. Другие по-прежнему ратуют за ручку и бумагу, говоря: «А что, если в калькуляторе сядут батарейки?» или «Представьте, что калькулятора у вас под рукой нет». Имея в виду, что у большинства детей под рукой скорее окажется электронное устройство, чем бумага и карандаш, очень трудно доказывать их приоритет (кроме того, исследования, вопреки распространенным представлениям, показывают, что разумное использование калькуляторов не вредит пониманию). Правда в том, что мало кто из детей будет пользоваться письменными методами и считать ручкой на бумаге после того, как покинет школу. Польза от этих методов не сводится к тому, что их можно практически использовать во взрослой жизни; скорее они позволяют детям почувствовать числа и развить свои арифметические навыки.

Проблемы, которые часто возникают у детей в связи с письменным сложением и вычитанием

1. Дети часто складывают и вычитают числа последовательно, цифра за цифрой, и не задумываются о том, насколько разумным получается ответ.

2. Иногда не к месту применяют плохо заученные правила, вроде «нельзя вычесть 9 из 7», в результате чего пример 67 – 29 имеет ответ 42.

3. Используют письменные методы и решают на бумаге, когда решить в уме было бы проще и быстрее.

Сложение столбиком: стандартный метод

Вы, должно быть, давно ждете, когда же речь зайдет о традиционном методе сложения. Многие из нас учили в школе, что складывать 146 и 879 следует так:

Мы заучивали алгоритм механически, так что в конце концов он начинал казаться чем-то, что само собой разумеется, но для ребенка такой способ действий далеко не очевиден. К примеру, при решении приведенного примера взрослые говорят: «К шести прибавить девять будет 15; пять пишем, один в уме. Далее к четырем прибавляем семь и один, будет 12; два пишем, один в уме…» и т. д. Но «к четырем прибавить семь и один – будет 12» в действительности означает «к 40 прибавить 70 и 10 равно 120», а в следующем столбце рассматривается на самом деле не «один прибавить восемь, прибавить один», а «100 прибавить 800, прибавить 100». Мы понимаем этот шифр, но дети, у которых пока нет солидной подготовки, его не понимают.

Вычитание столбиком: стандартный метод

Если даже сложение в столбик способно запутать ребенка, то вычитание столбиком (метод, которому обучались в школе старшие поколения) может оказаться настоящим минным полем.

Вот один из методов вычитания, который вы, возможно, осваивали в школе. Требуется решить пример 784 – 356: