Математика для мам и пап: Домашка без мучений

Взгляните на этот ряд чисел: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Это так называемые степени двойки, где каждое число получается путем удвоения предыдущего. Именно в них секрет карточного номера с чтением мыслей. Первое число на каждой карточке представляет собой степень двойки.

Оказывается, любое целое число можно получить сложением нескольких степеней двойки:

• Чтобы получить 6, нужно сложить 4 и 2.

• Чтобы получить 9, нужно сложить 8 и 1.

• Чтобы получить 14, нужно к 8 прибавить 4 и 2.

Вот как получаются все числа от 1 до 15:

Каждое число здесь единственным способом описывается определенной комбинацией из ответов «Да» и «Нет». К примеру, число 3 – это «Нет Нет Да Да», а число 13 – это «Да Да Нет Да». Замените «Да» на единицу, а «Нет» – на нуль, и вы получите 0011 для 3 и 1101 для 13. Это так называемые двоичные числа – фундаментальные числа, которыми пользуются компьютеры, ведь работа компьютеров на самом базовом уровне – это исключительно принятие решений типа да/нет. Этот факт придает двоичным числам огромное значение; можно сказать, что двоичная система счисления – самая важная на планете.

Чтобы определить, какое число связано с какой карточкой, достаточно просто посмотреть на ответы «Да» в каждом столбце приведенной таблицы. В первом столбце (8) «Да» стоит напротив чисел 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15, поэтому на первой карточке должны размещаться именно эти числа. Во втором столбце (4) «Да» относится к числам 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 и 15, и именно эти числа можно найти на второй карточке. И так далее.

Можно сделать этот фокус еще более впечатляющим, если использовать пять карточек. Правда, чтобы определить, какие числа должны располагаться на какой карточке, придется составить таблицу подлиннее. В ней должна быть дополнительная колонка (с числом 16 наверху), а сбоку следует написать числа от 1 до 31 (31 – наибольшее число, которое можно получить сложением 1, 2, 4, 8 и 16). Пять карточек, которые вы в конце концов получите, будут выглядеть так:

А теперь продемонстрируйте этот фокус кому-нибудь – пусть «жертва» выберет число от 1 до 31.

Что могут степени

Сколько песчинок понадобится, чтобы заполнить песком всю наблюдаемую Вселенную? Глупый вопрос, ведь такого количества песчинок, чтобы заполнить Вселенную, просто не существует (откуда бы взялся весь этот песок?), но дети обожают глупые вопросы. А у этого к тому же есть ответ, который тоже звучит глупо: для этого потребовался бы миллион миллиардов миллиардов триллионов квадриллионов пентиллионов гекстиллионов песчинок… умноженный на три! Или, если записать это привычным способом как три с 90 нулями:

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Это длинное число, и писать его утомительно, но математики, к счастью, придумали для него более короткий способ записи. Данное гигантское число можно записать так: 3 × 1090. Число 90, записанное вверху маленькими цифрами, называется показателем степени, или экспонентой, а еще иногда его называют (осторожно, сейчас появится страшное слово) логарифмом (по основанию 10).

Большинство родителей припомнят, что слышали что-то о логарифмах в школе, но вряд ли они смогут сколько-нибудь подробно рассказать о том, как те устроены и работают. В лучшем случае мамы и папы скажут, что такое и как выглядят логарифмы. Но на самом деле идеи, которые стоят за этим понятием, вполне можно донести до десятилетнего ребенка.

Для начала напомните сыну или дочери о том, что площадь квадрата со стороной 10 равна 10 × 10, или «10 в квадрате». Кратко это можно записать как 102 (что имеет смысл, поскольку число 10 в полной записи повторяется дважды).

Поэтому не удивительно и понятно с точки зрения здравого смысла, что 10 × 10 × 10 записывается как 103.

А теперь зададимся вопросом: сколько будет 102 × 103? Если расписать это подробно, получится 10 × 10 × 10 ×10 × 10, или 100 000, но в краткой записи это будет 105. Вы заметили, что маленькие числа в обоих сомножителях (3 и 2) просто сложились и дали такое же маленькое число 5 в ответе?

Всегда ли работает такое сложение? Чему, как вы полагаете, равно 102 × 104? Если правило сложения работает, то в ответе должно получиться 106, поскольку 2 + 4 = 6 – и быстрая проверка показывает, что это верный ответ (100 × 10 000 = 1 000 000, или миллион).

Таким образом, при помощи логарифмов можно без труда превратить умножение в сложение. И это работает при любом основании. То есть 32 × 34 = 36 (2 + 4 = 6). Если записать полностью, то получится, что мы 3 × 3 (9) умножаем на 3 × 3 × 3 × 3 (81), и получается 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 (729). Это оказывается весьма полезным, когда числа становятся слишком большими для калькулятора. Так что теперь вы можете уверенно сказать, что 179 × 174 равно 1713, хотя при попытке проверить это утверждение при помощи электроники вы, вероятно, получите лишь сообщение об ошибке.