Читаем Математика для мам и пап: Домашка без мучений полностью

Математика для мам и пап: Домашка без мучений

Пройдите в этом направлении дальше и рассмотрите поля в форме декагона (10 сторон) и икосагона (20 сторон); по мере увеличения числа сторон форма поля Жиля начинает напоминать круг. На самом деле круг – многоугольник с бесконечным числом сторон, и если фермер использует свои 120 м ограды для создания круглого поля, он сможет огородить почти 1150 м2 пастбища – намного больше, чем было в первоначальном треугольнике, и, мало того, максимально возможная площадь, которую Жиль может огородить. Это лишь одно из многих важных свойств круга, которыми объясняется его особая роль в геометрии.

Кстати говоря, на идее получать ответ, выбирая все более мелкие шаги и переходя в конце концов к шагам бесконечно малым, построена одна из важнейших областей высшей математики, известная как дифференциальное исчисление. Наши представления о высшей математике чуть ли не всем обязаны дифференциальному и интегральному исчислению, и мы должны благодарить Исаака Ньютона (и других) за идеи о математике бесконечно малых величин. Что подводит нас к еще одной, заключительной теме нашей книги…

Бесконечность и дальше

Когда ваши дети будут смотреть мультсериал «Историю игрушек» или играть с фигуркой его главного героя, Базза Лайтера, задайте им вопрос по поводу его коронной фразы: «В бесконечность и дальше». Идея бесконечности начинает интересовать детей уже в пяти– или шестилетнем возрасте, потому что это «самое большое» возможное число. Это так или нет? Базз Лайтер, судя по всему, фактом своего существования утверждает, что можно проникнуть дальше бесконечности.

Само собой, бесконечность – странная идея, и вы поможете детям осознать ее, рассказав им, например, историю гостиницы Гилберта.

В гостинице Гилберта было бесконечное число комнат. Невероятно, но однажды ночью отель заполнился под завязку. В каждой из комнат под номерами 1, 2, 3, 4 и так до бесконечности кто-то остановился. Затем в дверь гостиницы постучал еще один человек и спросил: «Есть у вас комната?» Управляющий подумал немного и ответил: «Вам повезло, есть». Он послал всем своим постояльцам такое сообщение: «Пожалуйста, переселитесь в комнату с номером на единицу больше номера вашей нынешней комнаты». Человек из номера 1 переехал в номер 2, из номера 2 – в номер 3, из 3 – в 4 и т. д. Понятно, что у постояльца из любого номера, какой только можно представить, даже самого большого, найдется номер на единицу больше. Так что у каждого теперь есть комната, и все комнаты полны – за исключением номера 1, который теперь пуст. Управляющий вручает ключ от номера 1 новому постояльцу.

В странной математике бесконечно больших чисел вы получили ответ на вопрос «Сколько будет бесконечность плюс 1?» Бесконечность плюс 1 будет бесконечность. Большинство учащихся средней школы никогда не сталкивались ни с данной идеей, ни с задачей о гостинице Гилберта. Как правило, эти вещи впервые обсуждаются в университете. Но вы обнаружите, что восьмилетнему ребенку они тоже будут интересны.

Можно продолжить историю дальше. На следующий день к отелю подъехал автобус с бесконечным числом пассажиров, и все они хотели поселиться в гостинице. А та по-прежнему была полна. Что же делать? К счастью, у управляющего нашелся еще один план. На этот раз он передал всем постояльцам гостиницы просьбу переехать в комнату с номером в два раза большим, чем номер их нынешней комнаты. Постоялец из номера 1 переехал в номер 2. Из номера 2 – в номер 4, и т. д. А поскольку для каждого числа найдется число вдвое большее, то комнаты нашлись для всех. Если нарисовать две числовые прямые, то можно наглядно увидеть, что произошло.

Все постояльцы гостиницы переселились в четные номера. Следовательно, все нечетные номера оказались пустыми. А поскольку нечетных чисел существует бесконечное количество, все пассажиры безразмерного автобуса смогли найти себе по комнате. Это означает, что дважды бесконечность – это тоже бесконечность.

В самом деле, создается впечатление, будто зайти дальше бесконечности попросту невозможно. Ну, вообще-то это не так. Если возле гостиницы появится автобус с бесконечным числом пассажиров, у которых на футболках написаны все возможные десятичные дроби от нуля до единицы, то людей в автобусе окажется больше, чем комнат в гостинице. На самом деле существуют бесконечности, большие, чем та, о которой мы думаем при счете. Но это по-настоящему серьезная математика; может быть, с ней действительно лучше подождать, пока дети немного подрастут.