Математика для мам и пап: Домашка без мучений

Далее. Если ваш ребенок готов признать, что такое правило сложения – штука хорошая и удобная и что правило это, судя по всему, работает всегда, вы можете воспользоваться ситуацией и расширить идею о применении степеней. Что такое 30? Большинство детей (да и большинство взрослых), скорее всего, скажет, что это нуль, но если вы усвоили, что правило сложения работает всегда, то 30 должно равняться 1. Почему? Посмотрите, скажем, на пример 30 × 32. Согласно правилу сложения степеней 0 + 2 = 2, так что ответ должен равняться 32 или, иными словами, 30 × 9 = 9… что означает, что 30 должно равняться 1. Более того, по этому правилу любое число в нулевой степени равняется 1!

Здесь не обойтись без некоторого осмысления, поэтому стоит остановиться и дать мальчику или девочке время освоиться с новыми идеями. Но на всякий случай – если вам или вашему ребенку не терпится двигаться дальше – добавим, что правило сложения степеней работает также для дробей и отрицательных чисел. К примеру, 101/2 – это квадратный корень из 10 (примерно 3,16), потому что 101/2 × 101/2 = 101. А что с отрицательными числами? 10–1 равно 0,1, или одной десятой, потому что 10–1 × 101 = 100 = 1. Очень хорошо, хватит!!!

Все это весьма серьезные идеи, и вполне возможно, что для многих ребят некоторые из них окажутся слишком серьезными. Но не забывайте, что очень большие числа, как правило, завораживают детей. Тот факт, что для записи числа, при помощи которого можно выразить размер Вселенной, достаточно всего трех или четырех цифр (к примеру, 1091), – интересная математическая загадка, которой имеет смысл поделиться.

Как найти площадь треугольника

Вернемся вновь к обычным повседневным числам. Ранее (см. «Площади более сложных фигур») мы описывали способ определения приблизительной площади треугольника при помощи подсчета квадратиков. Но, как известно многим родителям, существует и точная формула для вычисления площади треугольника. Возможно, вы помните формулировку: «Половина основания умножить на высоту».

Таким образом, если основание изображенного здесь треугольника – 6 м, а высота – 3 м, то площадь данной фигуры составит

Но почему площадь треугольника всегда равна половине основания, умноженной на высоту? Мало кто из родителей знает, чем это объясняется, большинство просто помнит правило.

На самом деле все очень просто, и если вы сами это поймете, то сможете просветить и своих детей. Возьмите произвольный треугольник и представьте, что располагаете его так, чтобы самая длинная его сторона оказалась внизу.

А теперь представьте, что помещаете свой треугольник внутрь тесного ящика и проводите вертикальную линию от верхней вершины треугольника к основанию.

Каждая часть треугольника представляет собой половину соответствующего прямоугольника, так что полная площадь будет составлять половину от площади всего прямоугольника – иными словами, половину произведения его основания на высоту.

Поместите два таких треугольника рядом. Промежуток между ними всегда будет представлять собой первоначальный треугольник, перевернутый вверх ногами, поэтому треугольники будут аккуратно вписываться в прямоугольную полосу, которая может продолжаться до бесконечности.

Это образец так называемого визуального доказательства, а доказательство – одна из важнейших концепций математики. Идея здесь в том, что вы можете с уверенностью сказать, что для треугольника любой формы в любой точке мира и в любой момент времени – сегодня, в прошлом или в будущем – площадь равна и всегда будет равна половине произведения основания этого треугольника и его высоты. Это очень мощная идея.

Почему круг – особая фигура?

В одной старой математической загадке говорится о том, что у фермера Жиля была коза и 120 м ограды. Фермер хочет огородить для своей козы участок, на котором было бы как можно больше травы.

Сначала он пробует огородить территорию в форме равностороннего треугольника со сторонами по 40 м (тогда периметр составит как раз 120 м).

Площадь такого треугольника чуть меньше 700 м2 (основание треугольника равно 40 м, а высота оказывается примерно равной 35 м).

Можно ли сделать лучше? Фермер разворачивает свои 120 м ограды в квадрат 30 × 30 м.

Теперь площадь равна 30 × 30 = 900 м2. Получается, что если у вас имеется ограда определенной длины, то площадь квадратного поля, окруженного этой оградой, окажется больше, чем площадь поля треугольного.

Далее фермер пробует правильный шестиугольник, каждая сторона которого равна 20 м.

Теперь площадь поля составляет приблизительно 1039 м2 (один из способов вычислить эту площадь состоит в том, чтобы найти площадь одного сегмента шестиугольника, представляющего собой равносторонний треугольник, и умножить на 6).

Таким образом, при заданной длине ограды площадь, судя по всему, получается тем больше, чем больше сторон у вашего поля.