Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений

При вычислении процентов легко попасть в некоторые типичные ловушки. Вот две периодически встречающиеся ошибки.

Увеличение и уменьшение

Владелец магазина явно хотел снизить цену обратно до 20 фунтов, что же пошло не так?

Когда вы берете некую цену и выполняете с ней более чем одно действие, помните, что 100 % – это изначальная цена и все вычисления процентов должны отталкиваться именно от нее.

Продавщица подняла цену на 40 %, и новая цена составила 140 % от исходной (20 × 140 % = 28 фунтов).

Когда продавщица уменьшала цену на 40 %, ей нужно было взять 40 % от исходной цены и вычесть это значение из новой цены. Тогда бы цена вернулась обратно к 100 %. Ошибка состояла в том, что продавщица приняла новую цену за 100 % и взяла 40 % от нее.

Вычитание налога

Мы уже знаем, как прибавлять проценты за обслуживание в ресторане и как вычитать проценты из магазинной цены или налог из зарплаты (см. пункты «Плюс» и «Без» в предыдущем подразделе). Однако представьте, что вы купили новый ноутбук за 293,75 фунта с учетом 17,5 % торгового налога. Какой была бы цена ноутбука без налогов?

Практически все делают в такой задачке одну и ту же ошибку: ищут 17,5 % от 293,75 фунта и вычитают это значение из цены с налогом. Получается 242,34 фунта, что неверно. Ту же ошибку совершила и продавщица в обувном магазине, вычитая 40 % из 28 фунтов.

Нужно помнить, что 293,75 фунта – это окончательная цена, которая состоит из цены без налога, умноженной на 1,175. Вот как это можно записать:

Когда при наличии окончательной цены требуется выполнить обратное действие, то есть найти цену без налога, окончательную цену нужно делить на 1,175:

Теперь подставим числа:

293,75 фунта ÷ 1,175 = 250 фунтов

Получается, что до обложения налогом ноутбук стоил 250 фунтов, так что если у вас есть возможность вернуть налог, вы получите обратно 43,75 фунта.

Процентные ставки

Как известно, потратив деньги, вы становитесь беднее, а сэкономив – богаче… Особенно если понимаете, как начисляются банковские проценты.

Когда вы кладете деньги на сберегательный счет, это называется вклад (или капитал). Он должен принести вам дополнительный доход, то есть проценты, начисляемые исходя из процентной ставки. Проценты на вклады бывают двух видов: простые и сложные.

Простые проценты

Допустим, вы положили 700 фунтов на счет с простой процентной ставкой в 6 % годовых. Это значит, что раз в год банк будет вычислять 6 % от ваших вложений и добавлять их на ваш счет. Если вы внесли 700 фунтов под 6 % годовых, проценты, которые вам начислят по завершении первого года, составят: 700 × 6 % = 700 × 0,06 = 42 фунта, то есть в конце года на вашем счету будет 742 фунта.

Если в течение нескольких лет вы не будете снимать деньги со счета, то какую прибыль по процентам получите? Можно воспользоваться формулой для простых процентов.

простые проценты = p × r × t

p = первоначальный вклад

r = процентная ставка (в виде десятичной дроби)

t = количество лет

Таким образом, если вы положите в банк 700 фунтов под 6 % годовых на 3 года, прибыль по процентам составит: 700 × 0,06 × 3 = 126 фунтов. (Не забывайте, 6 % нужно преобразовать в 0,06!) Эти деньги поступят на ваш счет, и полная сумма ваших сбережений достигнет 826 фунтов.

Сложные проценты (или как получать больше денег)

Предположим, вы положили в банк 700 фунтов под 6 % годовых и через год сняли все деньги. Как мы уже знаем, это 742 фунта. Затем вы решили внести эту сумму обратно еще на год. Теперь прибыль по процентам составит 6 % от 742 фунтов, то есть 742 × 0,06 = 44,52 фунта. Это чуть больше, чем вы получили за первый год, и полная сумма ваших сбережений будет равна 786,52 фунта. Если вы снова заберете эти деньги и тут же положите обратно еще на год, то прибыль по процентам снова возрастет: 786,52 × 0,06 = 47,19 фунта.

Через три года на вашем счету будет 833,71 фунта. За счет того, что вы забирали и снова вкладывали деньги, вы получили дополнительные 7,71 фунта, то есть вам достались проценты от первоначальной суммы вклада плюс проценты от начисленных прежде процентов! Это называется сложными процентами.

Хорошая новость состоит в том, что банк не заинтересован, чтобы вы каждый год забирали и вкладывали обратно свои деньги, поэтому он будет сам начислять вам сложные проценты. Если он это делает раз в год, используется такая формула:

сложные проценты (годовые) = [(1 + r)^t − 1] × p

Давайте посмотрим, что произойдет с нашими 700 фунтами за 3 года. Подставим 0,06 вместо r, а 700 вместо p:

[(1 + 0,06)³ − 1] × 700