Математика и криптография

Прив ет теб е, мой д орог ой сы н. Ка к пож ива ешь в де ревне? Что нового слыш но ? Р угае шьс я л и с де ду шкой и бабушко й? У н ас с мам ой всё ка к об ычно . Ходим н а работу . Приеде м к те бе на с ле дующих вых одны х, г ото вься. Кушай хорошо, не балуйся и слушайся старших. Ешь больше овощей и фруктов, поменьше играй на планшете и побольше гуляй. Катайся на велосипеде и купайся. До скорой встречи, твой отец.

И больше ничего. Никаких шифровок, ничего такого, о чём мы говорили раньше. Это странно.

А теперь посмотри на этот текст внимательнее. Почему в нём использованы обычные и жирные буквы? Обычно так никто не пишет. Нет ли тут какой-то тайны, над которой надо бы поломать голову?

Действительно, ты уже можешь догадаться, что в этой книге ничего не написано просто так. Тут явно что-то закодировано. Но для того чтобы это понять, необходимо немного отвлечься и изучить новую для тебя тему из математики. Тут уж ничего не поделаешь, поскольку криптография — это наука, в которой очень много математики. И даже если тебе математика не очень нравится, то я надеюсь, что ты её полюбишь, прочитав до конца эту книгу и вместе со мной попробовав все способы шифрования и расшифровки. Ведь математика позволяет решать такие интересные загадки! Честно говоря, математика позволяет делать практически всё, что только можно придумать.

Почему мы вообще используем счёт до десяти? Почему у нас десять цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9? Почему, если прибавить к девяти единицу, то произойдёт так называемый перенос разряда и число станет двузначным? Для записи числа «десять» мы не вводим одиннадцатую цифру, а используем те же самые цифры, что и для первых десяти чисел от нуля до девяти. А что вообще обозначает запись «10»? Эта запись обозначает: один десяток и ноль единиц. А, к примеру, запись «156» обозначает: одна сотня, пять десятков и шесть единиц. А вот запись «7325» обозначает: семь тысяч, три сотни, два десятка и пять единиц.

А что, если бы у нас было не две руки и десять пальцев, а этакие щупальца, как у осьминога? Мы могли бы считать только до двух, и перенос разряда происходил бы, когда мы досчитывали бы не до десяти, а до двух. Это очень сложно воспринять при первом чтении, но ты постарайся: для записи любого числа можно обойтись всего лишь двумя цифрами: 0 и 1. Такова двоичная система счисления , и её постоянно используют программисты, а еще очень любят использовать математики, особенно криптографы.

Смотри: у нас есть всего две цифры, но мы хотели бы считать любое количество предметов, которое нам может встретиться. Когда предметов нет, мы используем цифру 0. Если предмет один, то мы используем цифру 1. А когда предмета два? Тут происходит перенос разряда, который в двоичной системе используется всегда, когда надо сложить 1 и 1. Так вот если надо посчитать два предмета, то мы запишем это так: 10. А три предмета? Это проще: 10 + 1 = 11. Если у нас четыре предмета, то надо к трём прибавить один, то есть 11 + 1. Что получится? Сложение делается точно так же, как и в десятичной системе. Сначала складываем единицы, получается 10, то есть происходит перенос разряда. Но в следующем разряде уже стоит 1, поэтому опять надо сложить единицы, и опять произойдет перенос разряда. Получается, что четыре предмета обозначаются как 100.

Вот так начинается счёт в этой замечательной системе счисления:

Ты сможешь определить, как в двоичной системе обозначается шестнадцать предметов?

Как перевести такие двоичные числа в привычный вид? Тут надо сделать то же самое, что и в десятичной системе, только роль разрядов — единиц, десятков, сотен, тысяч и т. д. играют единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки. Всё это — так называемые степени основания системы счисления (основание двоичной системы счисления — двойка). Если в системе счисления десять цифр, то перенос разряда происходит на десятках, а когда у нас только две цифры, то приходится делать перенос разряда на двойках.

Таким образом, надо сложить друг с другом те степени двойки, для которых в двоичной записи числа стоит единица. Например, нам нужно перевести в десятичную систему двоичное число «101100110».

Эта таблица показывает, как это сделать. Для этого надо сложить числа 256, 64, 32, 4 и 2, и у нас получится 358. Впрочем, когда ты научишься пользоваться двоичной системой счисления так же обыденно, как и десятичной, тебе не надо будет ничего никуда переводить — ты сможешь считать и выполнять все необходимые математические операции прямо в этой системе (кстати, она намного проще, чем десятичная).